专题4.4 导数在研究函数极值和最值的应用（解析版）

专题4.4导数在研究函数极值和最值的应用题型一函数极值（点）的辨析题型二最值与极值的辨析题型三求已知函数的极值（点）和最值题型四根据极值（点）求参数题型五根据最值求参数题型六函数（导函数）图象与极值（点）的关系题型七利用导数解决实际问题题型一函数极值（点）的辨析例1．（2023春·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习）（多选）函数fx的导函数yfx在区间,ab上的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数fx在1x处有极小值B．函数fx在2x处有极小值C．函数fx在区间,ab内有4个极值点D．导函数fx在3x处有极大值【答案】BD【分析】根据导函数的图象、极值点、极值的知识求得正确答案.【详解】A选项，fx在1xx左右两侧的0fx，所以1x不是fx的极值点，A选项错误.B选项，fx在2xx左右两侧，左侧0fx，右侧()0fx¢，所以函数fx在2x处有极小值，B选项正确.C选项，根据图象可知，fx有3个极值点，0x左右两侧的()0fx¢，所以0x不是fx的极值点，C选项错误.D选项，fx的图象在3xx左右两侧，左侧单调递增，右侧单调递减，所以fx在3x处有极大值，D选项正确.故选：BD例2．（2023·全国·高三专题练习）若函数fx存在一个极大值1fx与一个极小值2fx满足21fxfx，则fx至少有（）个单调区间.A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数fx存在一个极大值1fx与一个极小值2fx，则fx至少有3个单调区间，若fx有3个单调区间，不妨设fx的定义域为,ab，若12axxb，其中a可以为，b可以为，则fx在12,,,axxb上单调递增，在12,xx上单调递减，（若fx定义域为,ab内不连续不影响总体单调性），故21fxfx，不合题意，若21axxb，则fx在21,,,axxb上单调递减，在21,xx上单调递增，有21fxfx，不合题意；若fx有4个单调区间，例如1fxxx的定义域为|0xx，则221xfxx，令()0fx¢，解得1x或1x，则fx在,1,1,上单调递增，在1,0,0,1上单调递减，故函数fx存在一个极大值12f与一个极小值12f，且11ff，满足题意，此时fx有4个单调区间，综上所述：fx至少有4个单调区间.故选：B.练习1．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）若fx是0,3上的连续可导函数，20f，且1,2x时，0fx，2,3x时，()0fx¢，则2x是fx的（）A．极大值点B．极小值点C．最大值点D．最小值点【答案】B【分析】根据极值点的定义，结合条件，即可判断选项.【详解】由条件可知，fx是0,3上的连续可导函数,20f,当1,2x时，0fx，函数fx单调递减，当2,3x时，()0fx¢，函数fx单调递增，根据极值点的定义，可知，2x是fx的极小值点，但不一定是函数在0,3上的最小值点.故选：B练习2．（2023春·河南洛阳·高三校考阶段练习）对于定义在R上的可导函数()fx，()fx为其导函数，下列说法正确的是（）A．使()0fx的x一定是函数的极值点B．()fx在R上单调递增是()0fx在R上恒成立的充要条件C．若函数()fx既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大D．若()fx在R上存在极值，则它在R一定不单调【答案】D【分析】ABC均可以举出反练习，D可以通过极值点和极值的定义进行判断.【详解】A选项，()0fx的x不一定是函数的极值点，比如3fxx在0x处导函数的值为0，但0x不是3fxx的极值点，A说法错误；()fx在R上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如3fxx为单调递增函数，3fxx在0x处导函数值为0，故()fx在R上单调递增不是()0fx在R上恒成立的充要条件，B说法错误；若函数()fx既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如1fxxx，在=1x处取得极大值2，在1x处取得极小值2，极小值大于极大值，故C说法错误；根据极值点和极值的定义可以判断，若()fx在R上存在极值，则它在R一定不单调，D说法正确.故选：D练习3．（2023春·河北石家庄·高三校联考期中）已知函数()fx的导函数为()fx，函数()yxfx的图象如图所示，则()fx在x________处取得极大值，在x________处取得极小值.【答案】55【分析】结合图象说明当5x或5x时，0fx，当5x0或05x时，()0fx¢，且550ff，由此确定函数的极值点.【详解】由图象可得当5x时，0xfx，所以0fx，当5x0时，0xfx，所以()0fx¢，当05x时，0xfx，所以()0fx¢，当5x时，0xfx，所以0fx，又550f，550f，所以550ff，所以5x时函数取极小值，当5x时函数取极大值.故答案为：5；5.练习4．（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）若函数yfx的定义域为R且可导，则“yfx在2x处的导数为0”是“当2x时，yfx取到极值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先验证充分性，不妨设3()2fxx，在2x处有(0)0f，但()fx为单调递增函数，2x不是极值点；再验证必要性，即可得结果．【详解】充分性：不妨设3()2fxx，则2()32fxx，在2x处有(2)0f，但是()0fx，()fx为单调递增函数，故2x不是极值点，故充分性不成立；必要性：由当2x时，yfx取到极值，得(2)0f，即yfx在2x处的导数为0，故必要性成立．所以“yfx在2x处的导数为0”是“当2x时，yfx取到极值”的必要不充分条件.故选：B练习5．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）以函数2cos0yx的图象上相邻四个极值点为顶点的四边形对角线互相垂直，则______.【答案】34/34【分析】作出函数2cos0yx的图象，取点0,2A、π,2B、3π,2C、2π,2D，可知四边形ABCD为菱形，可得出ABAD，可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】作出函数2cos0yx的图象如下图所示：函数2cos0yx的最小正周期为2πT，不妨取点0,2A、π,2B、3π,2C、2π,2D，则//ADBC且2πADBC，又因为ACBD，则四边形ABCD为菱形，所以，ABAD，即22π2π4，解得3π4.故答案为：3π4.题型二最值与极值的辨析例3．（2023·高三校考课时练习）下列有关函数的极值与最值的命题中，为真命题的是（）．A．函数的最大值一定不是这个函数的极大值B．函数的极大值可以小于这个函数的极小值C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值D．函数在开区间上不存在极大值和最大值【答案】B【分析】设2()fxx，(1,1)x，求出其最大值和极大值可判断A和D；若函数()fx在[1,2]上单调递增，在(2,3)上单调递减，在(3,4)上单调递增，在(4,5)上单调递减时，在(5,6)上单调递增时，可以出现极大值小于这个函数的极小值，说明B正确；根据极小值一定不是端点值，最小值可能是端点值，可判断C.【详解】对于A，设2()fxx，(1,1)x，()2fxx，当10x时，()0fx，当01x时，()0fx，所以函数()fx在(1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以函数()fx在0x时取得极大值(0)f，也是最大值，故A不正确；对于B，若函数()fx在[1,2]上单调递增，在(2,3)上单调递减，在(3,4)上单调递增，在(4,5)上单调递减时，在(5,6)上单调递增，此时函数()fx在2x时取得极大值(2)f，在5x时取得极小值(5)f，这里(2)f可以小于(5)f，故B正确；对于C，函数在某一闭区间上的最小值可能是端点值，而极小值一定不是端点值，故C不正确；对于D，由A可知，函数2()fxx在开区间(1,1)上存在极大值和最大值.故D不正确；故选：B例4．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）定义在R上的可导函数yfx的导函数的图象如图所示，则以下结论正确的是（）A．3是函数fx的一个零点B．2是函数fx的极大值点C．fx的单调递增区间是3,D．fx无最小值【答案】C【分析】由图象可得出函数的单调区间，进而得出函数的极值点、最值点，即可得出答案.【详解】对于A项，由已知图象，仅可得出函数的单调性以及极值点，并不能得出函数的值，故A项错误；对于B项，由已知图象可知，当,3x时，0fx，所以fx在,3上单调递减；当3,x时，0fx恒成立，所以fx在3,上单调递增，所以3是fx的极小值点，无极大值点，故B项错误；对于C项，由B可知，fx在3,上单调递增，故C正确；对于D项，由B可知，fx在3x处取得唯一极小值，也是最小值，所以D错误.故选：C.练习6．（2022秋·江西南昌·高三校联考期末）设()fx是区间[,]ab上的连续函数，且在(,)ab内可导，则下列结论中正确的是（）A．()fx的极值点一定是最值点B．()fx的最值点一定是极值点C．()fx在区间[,]ab上可能没有极值点D．()fx在区间[,]ab上可能没有最值点【答案】C【解析】根据连续函数的极值和最值的关系即可判断．【详解】根据函数的极值与最值的概念知，()fx的极值点不一定是最值点，()fx的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数()fx在区间[,]ab上单调，则函数()fx在区间[,]ab上没有极值点，所以C正确．故选：C.【点睛】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题．练习7．（2023春·河北邯郸·高三武安市第三中学校考阶段练习）函数图象连续的函数yfx在区间,ab上（）A．一定存在极小值B．一定存在极大值C．一定存在最大值D．极小值一定比极大值小【答案】C【分析】根据函数最值和极值的定义即可得解.【详解】由函数的最值与极值的概念可知yfx在,ab上一定存在最大值．故选：C．练习8．（2023·全国·高三专题练习）定义在闭区间,ab上的连续函数yfx有唯一的极值点0xx，且0=yfx极小值，则下列说法正确的是A．函数fx的最大值也可能是0fxB．函数fx有最小值，但不一定是0fxC．函数fx有最小值0fxD．函数fx不一定有最小值【答案】C【分析】根据函数的极值与最值的定义即可求解.【详解】∵定义在闭区间,ab上的连续函数yfx有唯一的极值点0xx，且0=yfx极小值，∴函数()fx在区间0[,)ax上单调递减，