专题4.6 构造函数解决抽象不等式及比较大小（解析版）

专题4.6构造函数解决抽象不等式及比较大小题型一构造函数fxgx型可导函数题型二构造函数fxgx型可导函数题型三构造函数fxgx型可导函数题型四导函数带常数型题型五比较大小题型一构造函数fxgx型可导函数例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当0,x时，2fxx，24f，则不等式2312xfxxxx的解集为（）A．103,,B．1,13,C．,10,3D．1,3【答案】A【分析】根据题意构造函数2()()Fxfxx，通过导数研究函数()Fx的单调性和奇偶性，将不等式等价转化为23(1)20xfxxxx，分情况讨论并求解即可.【详解】因为2fxx，所以()20fxx，构造函数2()()Fxfxx，当,()0x时，()()20Fxfxx，所以函数()Fx在区间(0,)内单调递增，且(2)0F，又()fx是定义在R上的偶函数，所以()Fx是定义在R上的偶函数，所以()Fx在区间(,0)内单调递减，且(2)0F．不等式23(1)2xfxxxx整理可得：23(1)20xfxxxx，即2[(1)(1)]0xfxx，当0x时，2(1)(1)0fxx，则12x，解得3x；当0x时，2(1)(1)0fxx，则210x，解得11x，又0x，所以10x．综上，不等式23(1)2xfxxxx的解集为103,,．故选：A．例2．（2023春·宁夏·高三六盘山高级中学校考开学考试）已知函数2sin2fxfxx，又当0x时，2fx，则关于x的不等式ππ2sin244fxfxx的解集为（）．A．π,8B．π,8C．π,4D．π,4【答案】A【分析】设sin2gxfxx，并判断出gx为偶函数，利用导数求出其单调性，将所求的式子转化为π()()4gxgx，从而得到π4xx，解出x的范围.【详解】由2sin2fxfxx，sin2sin2fxxfxx，设sin2gxfxx所以gxgx，即gx为R上的偶函数当0x时，2cos2gxfxx，因为2fx，所以0gx则gx在区间0,上单调递增所以ππ2sin244fxfxx即πsin2cos24fxfxxx即ππππsin2sin2sin24244fxxfxxfxx等价于π()()4gxgx，即π4xx解得π8x．故选：A.练习1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数fx是定义在R上的可导函数，其导函数为fx，若对任意xR有1fx，110fxfx，且02f，则不等式11fxx的解集为（）A．4,B．3,C．2,D．0,【答案】B【分析】构造gxfxx，确定函数gx在R上单调递增，计算22f，20g，转化得到12gxg，根据单调性得到答案.【详解】设gxfxx，则10gxfx恒成立，故函数gx在R上单调递增.110fxfx，则200ff，即22f，故2220gf.11fxx，即10gx，即12gxg，故12x，解得3x.故选：B.练习2．（2023·高二单元测试）设函数fx，gx在R上的导函数存在，且fxgx，则当,xab时（）A．fxgxB．fxgxC．fxgagxfaD．fxgbgxfb【答案】C【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反练习即可排除；对于CD，构造函数hxfxgx，利用导数与函数单调性的关系证得hx在R上单调递减，从而得以判断.【详解】对于AB，不妨设2fxx，1gx，则2fx，0gx，满足题意，若1,xab，则21fxgx，故A错误，若0,xab，则01fxgx，故B错误；对于CD，因为fx，gx在R上的导函数存在，且fxgx，令hxfxgx，则0hxfxgx，所以hx在R上单调递减，因为,xab，即axb，所以hbhxha，由hxha得fxgxfaga，则fxgagxfa，故C正确；由hbhx得fbgbfxgx，则fxgbgxfb，故D错误.故选：C.练习3．（2023·全国·高三专题练习）已知fx为函数fx的导函数，且()+ln1fxxe1f，，则不等式lne1fxxx的解集为（）A．1，B．01，C．e，D．0e，【答案】C【分析】令lngxfxxx，得到函数gx的单调性，再转化为解不等式egxg即得解.【详解】令lngxfxxx，所以()()ln10gxfxx，所以gx为0，上的增函数，由e1f，所以e1eg，则不等式等价于egxg，则不等式的解为e，。故选：C.练习4．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知函数fx的定义域为R，其导函数为fx，若sin22fxfxx，且当0x时，2cos02xfx，则2π1sin2sin122xxfxfx的解集为（）A．ππ,3B．π,π,3C．ππ,3D．π,π,3【答案】C【分析】令sin2xgxfx，由已知可推得gx为偶函数，gx在,0上单调递增，gx在0,上单调递减.不等式变形可得，22π12sinsin22xxfxfx.根据二倍角的余弦公式，可得出2πgxgx.然后根据gx的奇偶性和单调性，可推得2πxx，平方求解不等式，即可得出答案.【详解】由已知可推得，2sin2xfxfx.令sin2xgxfx，则sinsin22xxgxfxfx，所以sinsin22xxgxgxfxfx2sin02xfxfx，所以，gx为偶函数.又11cos2cos2222xxgxfxfx，因为当0x时，2cos02xfx，所以，0gx，所以gx在,0上单调递增.又gx为偶函数，所以gx在0,上单调递减.由2π1sin2sin122xxfxfx可得，22π12sinsin22xxfxfx.因为2π2π2πsin2xgxfx2πcosfxx22π12sin2xfx，所以，2πgxgx.因为gx在0,上单调递减，gx为偶函数，所以有2πxx，平方整理可得，2234ππ0xx，解得ππ3x.故选：C.【点睛】关键点睛：构造函数sin2xgxfx，根据已知得出函数的奇偶性以及单调性.练习5．（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）若()fx为定义在R上的连续不断的函数，满足2()()4fxfxx，且当(,0)x时，1()42fxx．若3132fmfmm，则m的取值范围___________．【答案】1,2【分析】由已知当(,0)x时，1()42fxx，可构造函数21()()22gxfxxx，可得()gx为奇函数，又1402gxfxx，得()gx在(,0)上是减函数，从而在R上是减函数，再根据函数的奇偶性和单调性即可求解．【详解】2()()4fxfxxQ，22()2()20fxxfxx，设21()()2,R2gxfxxxx，则21()()22gxfxxx，则()()0gxgx，()gx为奇函数，又当(,0)x时，1402gxfxx，()gx在(,0)上是减函数，从而在R上是减函数，又3132fmfmm,等价于2211(1)2(1)(1)()2()()22fmmmfmmm，即(1)()gmgm，1mm，解得12m,故m的取值范围为1,2，故答案为：1,2【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要根据当(,0)x时，1()42fxx的结构特征，发现规律，即构造函数21()()2,R2gxfxxxx，继而证明该函数为奇函数，再结合单调性解决问题.题型二构造函数fxgx型可导函数例3．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数fx是定义在R上的偶函数，其导函数为fx，且当0x时，20fxxfx，则不等式2(2023)(2023)(1)0xfxf的解集为______．【答案】{|2022xx或2024}x【分析】构造函数2Fxxfx，根据题意可判断，Fx是偶函数，在,0上是增函数，在0,减函数，把原不等式转化为解不等式20231FxF，进而20231x，解之即得答案.【详解】令2Fxxfx，则222Fxxfxxfxxfxxfx，由当0x时，20fxxfx，所以当0x时，20Fxxfxxfx即Fx在,0上是增函数，由题意fx是定义在R上的偶函数，所以fxfx，所以22FxxfxxfxFx，所以Fx是偶函数，在0,递减，所以2202320232023Fxxfx，21111Fff，即不等式等价为20231FxF，所以20231x，所以2022x或2024x.故答案为：{|2022xx或2024}x.例4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数fx的导函数为fx，且20.fxfx若23ln333af，2πlnπππbf，ln222cf，则（）A．cbaB．abcC．bacD．acb【答案】B【分析】利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，进而确定正确答案.【详解】设2exgxfx，则2e2xgxfxfx，因为20fxfx恒成立，所以0gx，所以