专题5.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系（解析版）

专题5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系题型一象限角及终边相同的角题型二扇形的弧长及面积公式题型三三角函数的定义及其应用题型四三角函数符号的判断题型五同角三角函数基本关系（知一求二）题型六齐次式化简求值题型七sincos与sincos的应用题型一象限角及终边相同的角例1．（2023春·上海奉贤·高三校考阶段练习）下列命题中正确的是（）A．终边重合的两个角相等B．锐角是第一象限的角C．第二象限的角是钝角D．小于90°的角都是锐角【答案】B【分析】根据象限角的定义以及终边相同的角，可得答案.【详解】对于A，终边相同的角可表示为2πZkk，故A错误；对于B，锐角的取值范围为π02，，故B正确；对于C，第二象限角的取值范围为π2π,π2πZ2kkk，故C错误；对于D，锐角的取值范围为π02，，其π902，则090，但0不是锐角，故D错误.故选：B.例2．（2023·高三单元测试）设集合21π,Z4kMxxk，41π,Z4kNxxk，则集合M，N的关系为（）A．MNB．MN=C．NMD．莫得关系【答案】B【分析】对于集合M，分21,Zkmm和2,Zkmm分别来研究可得答案.【详解】集合411π,Zππ,Z44kNxxkxxkk对于集合M，当2,Zkmm时，Z,4xmm；当21,Zkmm时，,4xmmZ，MN.故选：B.练习1．（2022秋·四川凉山·高三统考期末）“角A不大于π4”是“角A属于第一象限角”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由第一象限角定义判断“角A不大于π4”与“角A属于第一象限角”间关系即可.【详解】“角A不大于π4”则A可能为π2，不能得到“角A属于第一象限角”；由“角A属于第一象限角”，则A可能为13π6，不能得到“角A不大于π4”.则“角A不大于π4”是“角A属于第一象限角”的既不充分也不必要条件.故选：D练习2．（2022秋·江苏扬州·高三扬州中学校考期末）如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是__________.【答案】90180120180,kkkZ【分析】写出终边落在边界上的角，即可求出.【详解】因为终边落在y轴上的角为90180,kkZ，终边落在图中直线上的角为1203601202180,kkZk；3003601201802180120(21)180,nnnnZ，即终边在直线上的角为120180k，Zk，所以终边落在阴影部分的角为90180120180,kkkZ，故答案为：90180120180,kkkZ练习3．（2022秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）（多选）下列说法错误的是（）A．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是π6B．若角2rad，则角为第二象限角C．若角为第一象限角，则角2也是第一象限角D．π6是1sin2的充要条件【答案】ACD【分析】根据角的定义可判断A，根据弧度与角度的关系可判断B，根据象限角的范围即可判断C，根据三角函数的周期性即可判断D.【详解】对于A：将表分针拨快5分钟，则分针转过的角度为π6，故A不正确；对于B：因为角1802rad2114.6π，所以角为第二象限角，故B正确；对于C：若为第一象限角，不妨取390，则角1952为第三象限角，故C错误；对于D:若π6，则1sin2，故充分性成立，但1sin2，可以为13π6，故D错误，故选：ACD练习4．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知点sin,tanP在第二象限，则为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【分析】点在第二象限，根据坐标特征得sin,tan的符号，即可得所在象限.【详解】因为点sin,tanP在第二象限，所以sin0，tan0，即为第三象限角．故选：C练习5．（2023春·辽宁沈阳·高三校联考期中）下列与120角的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A．2π2π3kkZB．ππ3kkZC．2ππ3kkZD．π2π3kkZ【答案】A【分析】根据终边相同角的定义即可求解.【详解】120角用弧度制表示为2π3，B、D错误；终边相同应加上2πk，故C错误．故选：A．题型二扇形的弧长及面积公式例3．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为2S，当1S与2S的比值为512时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（）（参考数据：52.236）A．122SSB．若1212SS，扇形的半径3R，则13πSC．若扇面为“美观扇面”，则138D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R，则此时的扇形面积为20035【答案】D【分析】求得12SS判断选项A；求得满足条件的1S的值判断选项B；求得满足条件的的值判断选项C；求得满足条件的扇形面积的值判断选项D.【详解】扇形的面积为1S，其圆心角为，半径为R，圆面中剩余部分的面积为2S，选项A：212212=12π2π2SRSR.故A正确；选项B：由1212SS，可得12π2，解得2π3，又扇形的半径3R，则2112π33π23S.故B正确；选项C：若扇面为“美观扇面”，则1212π52SS，解得35π32.236180138.故C正确；选项D：若扇面为“美观扇面”，则35π，又扇形的半径20R，则此时的扇形面积为2135π2020035π2.故D错误.故选：D例4．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12（弦×矢+矢×矢）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径为2m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（精确到21m）A．22mB．23mC．24mD．21m【答案】A【分析】根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答.【详解】依题意，弦22sin233π(m)，矢22cos13(m)，则弧田面积=211(2311)3222(2m)，所以弧田面积约是22m.故选：A练习6．（2023春·山东·高三滨州一中校联考期中）时钟的分针长6cm，从10:05到10:40，分针转过的角的弧度数为______，分针扫过的扇形面积为______2cm.【答案】7π621π【分析】直接计算出分钟转过的弧度数，利用扇形的面积公式可求得分针所扫过的面积.【详解】由题意得，分针转过的角的弧度数为357π2π606，分针扫过的扇形面积为217π3621πcm26.故答案为：7π6；21π.练习7．（2023春·山东·高三统考期中）如图，航海罗盘将圆周32等分，设圆盘的半径为4，则其中每一份的扇形面积为（）A．2πB．πC．π2D．π4【答案】C【分析】先求出圆的面积，再乘以132即可.【详解】因为航海罗盘将圆周32等分，圆盘的半径为4，所以每一份的扇形面积为21ππ4322.故选：C.练习8．（2023春·江西南昌·高三南昌市第十九中学校考阶段练习）设扇形的周长为a，则当扇形的面积最大时，其圆心角的弧度数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】设扇形半径为r，由周长a求出弧长为l，根据扇形面积公式12Slr求出面积最大时r的值，并由此算出圆心角的弧度数，或使用基本不等式利用半径的二倍与弧长的和为定值结合扇形面积公式进行求解.【详解】方法一：设扇形的半径为r（0r），则扇形的弧长2lar（2ar），扇形的面积2112222aSlrarrrr，（02ar），由二次函数知识，当2214aar（满足02ar）时，扇形的面积22aSrr取最大值，此时，扇形的弧长22242aalarar，扇形圆心角的弧度数2lr.方法二：设设扇形的半径为r，弧长为l（0r，0l），则扇形的周长2alr，由基本不等式，扇形的面积2211122244216lraSlrlr，当且仅当2lr时取等号，此时，扇形的圆心角的弧度数2lr.故选：B.练习9．（2023春·山东威海·高三校考阶段练习）如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则弦AB的长为________．【答案】2sin1【分析】由扇形面积公式12Slr可得1r，从而求得2lr==，再根据2sin2ABr即可求解.【详解】由扇形面积公式12Slr，可得1212r，解得1r，所以221lr，所以2sin2sin12ABr.故答案为：2sin1练习10．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考期中）一个表面积为A的圆锥，其侧面展开图是一个中心角为135的扇形，设该扇形面积为B，则:AB为（）A．8:13B．3:8C．8:3D．11:8【答案】D【分析】由弧长公式可求出圆锥母线与底面圆半径的关系，再由圆锥表面积公式可解.【详解】设圆锥母线长l，底面圆半径r，3π2π1354rl，所以83lr，圆锥表面积2211Aπrπrlπr3，扇形面积2182ππ23Brlr，所以:11:8AB.故选：D题型三三角函数的定义及其应用例5．（2023春·北京丰台·高三统考期中）在平面直角坐标系中，动点A在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点A初始位置的坐标为43,55，则运动到3分钟时，动点A所处位置A的坐标为（）A．34,55B．43,55C．34,55D．34,55【答案】C【分析】设坐标原点为O，点1,0为B，由三角函数定义求BOA的正弦和余弦，结合诱导公式BOA的正弦和余弦，由此可得A坐标.【详解】因为点A初始位置的坐标为43,55，所以34sin,cos55BOABOA，因为每12分钟转动一周，逆时针运动3分钟，动点A所处位置为A，所以π2BOABOA，所以π4sinsincos25BOABOABOA，π3coscossin25BOABOABOA，所以点A的坐标为34,55,故选：C.例6．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转π3后，交单位圆于点3,5Px，那么sin（）A．43310B．43310C．34310D．34310【答案】D【分析】根据任意角三角函数的定义，求得π3的正弦值与余弦值，利用正弦的和角公式，可得答案.【详解】由点P在单位圆上，则22315x，解得45x，由锐角π0,2，即,6π3π3π，则45x，故π4π3cos,sin3535，所以ππππππsinsinsinc