专题5.2 诱导公式及三角恒等变换（解析版）

专题5.2诱导公式及三角恒等变换题型一利用诱导公式进行化简与求值题型二利用互余互补关系进行求值题型三三角恒等变换的简单化简与求值题型四辅助角公式的应用题型五给角求值型题型六给值求值型题型七给值求角型题型八三角恒等式的证明题型一利用诱导公式进行化简与求值例1．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知tan2，则πsin2sinπ2cosπsin2π的值为（）A．5B．5C．53D．53【答案】B【分析】由诱导公式化简，再根据商数公式弦化切即可得答案.【详解】πcossinsin2sinπ2cos2sin12tan142coscos5cossincosπsin2πcossin1tan12coscos.故选：B.例2．（2023秋·江苏扬州·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为x的非负半轴，终边经过点()1,2-．(1)求sintan的值；(2)求7sincostan222sin2tan的值．【答案】(1)455(2)55【分析】（1）根据任意角三角函数的定义运算求解；（2）根据诱导公式化简求值.【详解】（1）由题知角终边经过点()1,2-，则2222(1)25rxy，∴225sin55yr，2tan21yx，故sintan455.（2）由（1）知sin5costan5==-，则7π3πcoscossin22，故5π7πsincostan2πsintan22cossin2πtansinstanco5.练习1．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）cos390（）A．12B．32C．32D．12【答案】C【分析】利用诱导公式可求得所求代数式的值.【详解】3cos390cos36030cos302.故选：C.练习2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知，π0,2，且满足πtantan14，则（）A．4B．π4C．π2D．π22【答案】B【分析】根据题意结合诱导公式分析判断.【详解】因为π1tan2tan，可得πtantan12，结合πtantan14，可得ππtantan42，又因为，π0,2，则ππππ3π0,,,22444，所以ππ24，整理得π4.故选：B.练习3．（2023·全国·高三专题练习）已知π0,2，3sin5，则9πsinsin(8π)25πsinsin(7π)2______．【答案】7【分析】由已知条件利用同角三角函数关系式求出cos，从而得出tan，再利用诱导公式，弦化切即可得结果.【详解】因为3sin5，且π0,2，所以24cos1sin5，所以sin3tancos4．所以9πsinsin(8π)25πsinsin(7π)231cossin1tan473cossin1tan14．故答案为：7.练习4．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边过点1,2P.(1)求tan的值；(2)求2sinπcos2πππcossin22的值.【答案】(1)tan2(2)-1【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求得tan的值；（2）方法：1：由（1）知tan2，结合诱导公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，代入，即可求解；方法2：利用三角函数的定义求得21sin,cos55，结合诱导公式，代入即可求解.【详解】（1）解：因为角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边过点1,2P，由三角函数的定义，可得tan2.（2）解：方法1：由（1）知tan2，则2sinπcos2π2sincos2tan12211ππsincostan121cossin22.方法2：由角终边过点1,2P，可得5r，则2sin5，1cos5，所以2sinπcos2π2sincos1ππsincoscossin22.练习5．（2023春·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知点(6,8)P是角终边上一点，则πsin2（）A．45B．45C．35-D．35【答案】D【分析】根据三角函数定义得到3cos5，再根据诱导公式计算得到答案.【详解】点(6,8)P是角终边上一点，故2263cos568，π3sincos25.故选：D题型二利用互余互补关系进行求值例3．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知π3cos65，则πsin()3___________．【答案】35/0.6【分析】由πππ326，再结合诱导公式，即可求解.【详解】因为πππππππ3sin()sinsincoscos32626665，故答案为：35-例4．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）若π1sin65，则πcos3__________.【答案】15/0.2【分析】根据三角函数诱导公式即可求解.【详解】5πc2osπππ1cossin663.故答案为：15.练习6．（2021·高三课时练习）已知π1sin33，则2πsin3＝（）A．13B．13C．233D．233【答案】B【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．【详解】∵π1sin33，则2π2πππ1sinsinsinπsin33333=---，故选：B．练习7．（2023春·浙江宁波·高三校考阶段练习）已知π2cos73x，则6πcos7x等于（）A．23B．53C．23D．53【答案】A【分析】通过6ππcoscosπ77xx，利用诱导公式变形计算.【详解】6πππ2coscosπcos7773xxx.故选：A.练习8．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）（1）已知2，1sin3，求sin2的值；（2）已知π1sin33，求2π5πsincos36的值．【答案】（1）429；（2）23.【分析】（1）因为2，所以cos0，再由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可求出答案；（2）由诱导公式可将所求表达式化简为π2sin3，即可得出答案.【详解】（1）因为2，所以cos0，因为1sin3，所以2122cos133，所以12242sin22sincos2339.（2）2ππππsinsinπcos3323πππsinπcos323πππ2sinsin2sin3333.练习9．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知向量πsin16((),)a，)4,4cs(o3b，若ab，则4πsin)3(等于（）A．34B．14C．34D．14【答案】B【分析】由ab，则0ab，可求得4π1sin()3，然后利用诱导公式求解即可.【详解】因为ab，所以0π4sin()4cos36ab，即π23sin6cos343sin()303，则4π1sin()3，所以4π1sin()sinπ()sin()3334ππ.故选：B.练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知5ππsin3cos66，则πtan6的值为______.【答案】3【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.【详解】由5ππsin3cos66可得πππππsinπ3cossin3costan366666-=，故答案为：3题型三三角恒等变换的简单化简与求值例5．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）下列各式中，值为12的是（）A．1cos15sin152B．22cossin1212C．2tan22.51tan22.5D．sin15cos15【答案】C【分析】利用和差角公式、二倍角公式化简各选项，计算判断作答.【详解】对于A，1222(cos15sin15)cos(4515)cos602224，A不符合；对于B，22πππ3cossincos121262，B不符合；对于C，22tan22.512tan22.511tan451tan22.521tan22.522，C符合；对于D，11sin15cos15sin3024，D不符合.故选：C例6．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）若π1tan45，则tan（）A．23B．23C．13D．13【答案】A【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.【详解】因为π1tan45，所以11ππ25tantan1443115.故选：A.练习11．（2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中）已知53πsin,4544ππ，则cos的值为（）A．1010B．31010C．1010D．31010【答案】A【分析】确定πππ24得到25cos45π，ππcoscos44，展开计算得到答案.【详解】π3π44，πππ24，5sin45π，故225cos1sin45π4π，ππππππcoscoscoscossinsin4444442525210525210.故选：A练习12．（2023春·江苏泰州·高三江苏省口岸中学校