专题6.1 平面向量的线性运算，基本定理及坐标表示（解析版）

专题6.1平面向量的线性运算，基本定理及坐标表示题型一平面向量的基本概念题型二平面向量的线性运算题型三已知平面向量的线性运算求参数题型四向量共线与三点共线题型五平面向量共线定理的推论题型六平面向量的坐标运算题型七平面向量基本定理题型一平面向量的基本概念例1．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考期中）下列说法中不正确．．．的是（）A．向量的模可以比较大小B．平行向量就是共线向量C．对于任意向量,ab，必有||||||ababD．对于任意向量,ab，必有||||||abab【答案】D【分析】根据平面向量的模、平行向量、共线向量的定义即可判断AB；根据平面向量数量积的定义即可判断CD.【详解】A：向量的模表示向量的长度，为数量，是可以比较大小的，故A正确；B：平行向量就是共线向量，故B正确；C：由,cosababab，cos,[1,1]ab得cos,abababab，故C正确；D：2222abaabb，222()2abaabb，又cos,abababab，所以abab，故D错误.故选：D.例2．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考期中）（多选）下列有关向量命题，正确的是（）A．若ab，则abB．已知0c，且acbc，则abC．若ab，bc，则acD．若ab，则ab且//ab【答案】CD【分析】根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项．【详解】对于A：若0,1a，1,0b，此时满足ab，但是ab，故A错误；对于B：若//ab，且与c垂直，此时0acbc，但a不一定等于b，故B错误；对于C：若ab，bc，则ac，故C正确；对于D：若ab，则ab且a与b同向，故D正确；故选：CD练习1．（2023春·吉林·高三长春吉大附中实验学校校考期中）下列向量中不是单位向量的是（）A．1,0aB．1,1aC．cos,sinaD．0aaa【答案】B【分析】根据单位向量的定义，一一判断各选项中的向量，即得答案.【详解】由于1,0a，故||1ar，即1,0a为单位向量；1,1a，则22||112a，故1,1a不是单位向量；cos,sina，则22||cossin1a，cos,sina为单位向量；根据单位向量的定义可知0aaa为单位向量，故选：B练习2．（2023春·陕西宝鸡·高三统考期中）以下结论中错误．．的是（）A．若0ab，则//abrrB．若向量ABAC，则点B与点C不重合C．方向为东偏南70的向量与北偏西20的向量是共线向量D．若a与b是平行向量，则||||ab【答案】D【分析】利用向量共线的基本定理可判定A、C、D选项，利用向量相等的性质可以判断B选项.【详解】对于A选项，若0ab，则ab，则//abrr，故A说法正确；对于B选项，若向量ABAC，则两向量的起点都是A，点B与点C不重合，故B说法正确；对于C选项，方向为东偏南70的向量与北偏西20的向量可知，两个向量方向相反，是共线向量，故C说法正确；对于D选项，若a与b是平行向量，则ab，两向量的模长不一定相等，故D说法错误；故选：D.练习3．（2023春·四川成都·高三成都市第十八中学校校考期中）（多选）下列叙述中正确的是（）A．若//,//abbc，则//acrrB．若ab，则32abC．已知非零向量a与b且a//b，则a与b的方向相同或相反D．对任一非零向量,aaa是一个单位向量【答案】CD【分析】A注意0b即可判断；B根据向量的性质判断；C由共线向量的定义判断；D由单位向量的定义判断.【详解】A：若0b时，//,//abbc不一定有//acrr，错误；B：向量不能比较大小，错误；C：非零向量a与b且a//b，则a与b的方向相同或相反，正确；D：非零向量a，则aa是一个单位向量，正确.故选：CD练习4．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）下列说法错误的是（）A．若ABCD为平行四边形，则ABDCB．若ab∥，bc∥，则ac∥C．互为相反向量的两个向量模相等D．0NQQPMNMPuuuruuuruuuruuurr【答案】B【分析】根据向量的相关概念和线性运算逐项分析判断.【详解】对于A：若ABCD为平行四边形，则ABDC，故A正确；对于B：若0b，则0与任何向量均平行，可得ab∥，bc∥，但ac,rr不一定平行，故B错误；对于C：相反向量：模长相等，方向相反的向量互为相反向量，所以互为相反向量的两个向量模相等，故C正确；对于D：因为0NQQPMNMPNPPN，故D正确；故选：B.练习5．（2023春·陕西西安·高三西安市第八十三中学校考期中）（多选）下列说法正确的是（）A．平行向量不一定是共线向量B．向量AB的长度与向量BA的长度相等C．ABAB是与非零向量AB共线的单位向量D．若四边形ABCD满足ABDC，则四边形ABCD是矩形【答案】BC【分析】根据共线向量的概念，可判断A不正确；根据相反向量概念，可判定B正确；由向量ABAB是与非零向量AB同向的单位向量，可判定C不正确；由ABDC，得到四边形ABCD是平行四边形，可判定D不正确.【详解】对于A中，根据共线向量的概念，可得平行向量一定是共线向量，所以A不正确；对于B中，向量AB与向量BA是相反向量，可得ABBA，所以B正确；对于C中，根据单位向量概念，向量ABAB是与非零向量AB同向的单位向量，也是与向量AB共线的单位向量，所以C正确；对于D中，四边形ABCD满足ABDC，则四边形ABCD是平行四边形，不一定是矩形，所以D正确.故选：BC.题型二平面向量的线性运算例3．（2023春·吉林·高三校联考期中）已知ABC，2BDDC，E为AD的中点，记ABa=，ACb，则BE（）A．5163abB．5163abC．2136abD．2136ab【答案】B【分析】根据向量的线性运算即可结合图形关系求解.【详解】由2BDDC得23BDBC,所以111111515223263636BEBAADABACCBABACABACACABba+=-+=-++,故选：B例4．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（）A．ABADACB．ACCDDOOAC．ABADDBD．0ACBADA【答案】B【分析】根据向量运算的几何意义，结合条件逐项分析即得.【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，对A，ABADAC，正确；对B，ACCDDOADDOAO，错误；对C，ABADDB，正确；对D，0ACBADABCDA，正确.故选：B.练习6．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）化简ABBCAD（）A．ACB．CDC．DCD．DB【答案】C【分析】运用向量加法、减法运算求解即可.【详解】ABBCADACADDC故选：C.练习7．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，BC＝2AD，DE＝EC，设BAa，BCb=，则BE（）A．1124ab+rrB．1536abC．22ab33D．1324ab【答案】D【分析】取BC中点F，先征得四边形AFCD为平行四边形，再结合平面向量基本运算求解即可.【详解】取BC中点F，连接AF，如图所示，又因为2BCAD，//BCAD，所以CFAD且//CFAD，所以四边形AFCD为平行四边形，所以11111()()22222BEBCCEBCCDBCFABCBABFBCBABC31134224BCBAab.故选：D.练习8．（2023·河北·统考模拟预测）已知D为ABC所在平面内一点，且满足13CDDB，则（）A．3122ADABACB．2133ADABACC．43ABADACD．34ABADAC【答案】C【分析】根据向量的线性表示和加减法运算即可求解.【详解】如图，因为13CDDB，所以D是线段BC的四等分点，且3BDDC,所以33134444ADABBDABBCABACABABAC,故A,B错误；由1344ADABAC，可得43ABADAC，故C正确，D错误，故选:C.练习9．（2023春·北京·高三汇文中学校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，12BDAD（）A．CAB．ACC．12ACD．12CA【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算法则计算出结果.【详解】111111222222BDADBAADADBAADABADCA.故选：D练习10．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考期中）下列式子中，不能化简为PQ的是（）A．ABPABQB．ABBPAQC．QCQPCQD．BQBP【答案】B【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案.【详解】A：ABPABQPAABBQBQPBPQ；B：ABBPAQQAABBPQBBPQP；C：QCQPCQQCPQQCPQ；D：BQBPPBBQPQ；故选：B题型三已知平面向量的线性运算求参数例5．（2023·广东广州·统考模拟预测）在ABC中，M是AC边上一点，且1,2AMMCN是BM上一点，若19ANACmBC，则实数m的值为（）A．13B．16C．16D．13【答案】D【分析】根据平面向量基本定理用,AMAB表示AN，又因为,,BNM三点共线，利用系数和为1求解结果.【详解】由12AMMC，得出3ACAM，由19ANACmBC得1199ANACmACABmACmAB313mAMmAB，因为,,BNM三点共线，所以1133mm，解得13m.故选：D.例6．（2023·北京·高一专题练习）在ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，若(,)ABCMBNR，则（）A．2B．1C．1D．2【答案】A【分析】将,CMBN分别用,ABAC表示，根据平面向量基本定理即可求解.【详解】12CMAMACABAC,12BNANABACAB,故1122ABABACCACAMNBB1122AB，故112102，解得2343.所以24233.故选:A.练习11．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知ABC的边BC的中点为D，点E在ABC所在平面内，且32CDCECA，若ACxAByBE，则xy（）A．5B．7C．9D．11【答案】D【分析】利用平面向量的线性运算可将32CDCECA转化为56ABBEAC，则得到,xy的值，进而即可求解．【详解】因为32CDCECA，边BC的中点为D，所以1322CBBEBCAC，因为13322CBBEBCAC，所以5322BCBEAC，所以553222BCACABBEAC，所以5564ACABBEAC，即56ABBEAC，因为ACxAByBE，所以5x，6y，故11xy.故选：D．练习12．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考期中）平行四边形ABCD中，点E满足3,(,)ACAEDEABADRuuuruuuruuuruuuruuur，则（）A．13B．-1C．1D．13【答案】D【分析】根据平面向量的线性