专题7.2 等比数列及求和（解析版）

专题7.2等比数列及求和题型一基本量的计算题型二等比中项及等比数列项的性质题型三等比数列的判定与证明题型四等比数列前n项和的性质题型五等比数列中的单调，最值问题题型六等比数列的简单应用题型七等差、等比数列的综合应用题型一基本量的计算例1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在等比数列na中，132aa，则“356aa”是“数列na的公比为3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合等比数列的通项公式，充分、必要条件的定义判断即可.【详解】设等比数列na的公比为q，由132aa，356aa，得235133aaqaa，则3q；由132aa，3q，得235136aaaaq．故“356aa”是“数列na的公比为3”的必要不充分条件．故选：B例2．（2023春·高三课时练习）在等比数列na中，公比为q，前n项和为nS.(1)118,4naa，634nS，求n；(2)36763,22SS，求na及nS.【答案】(1)6(2)22nna，1122nnS【分析】（1）由等比数列前n项和公式与通项公式可解；（2）等比数列前n项和公式列方程组，解方程组可解.【详解】（1）显然，由11nnaaqSq，即1863414qq，解得12q，又11nnaaq，即1118()24n，所以6n.（2）由632SS知1q，由题意得3161(1)712(1)6312aqqaqq，两式相除得319q，得2q=，112a，所以121222nnna，1111212()nnnaqSq.练习1．（2023春·高二课时练习）在等比数列na中．(1)若12a，162na，112nS，求n和q；(2)已知41S，817S，求na.【答案】(1)5n，2q.(2)11215nna或11(2)5nna【分析】（1）（2）由等比数列通项公式和前n项和公式列方程组求解即可.【详解】（1）由11111nnnaaqaaqSqq得21621121qq，解得2q，又由11nnaaq得11622(2)n，解得5n.所以5n，2q.（2）显然1q，则414(1)11aqSq，818(1)171aqSq，两式相除得84411171qqq，解得2q，2q=时可解得1115a，则11215nna；2q时可解得115a，则11(2)5nna.所以11215nna或11(2)5nna练习2．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{na}的前n项和为nS，若45833,39aaaS，则4a=（）A．64B．81C．128D．192【答案】B【分析】根据等比数列性质结合求和公式，基本量运算，写出通项公式即得.【详解】由等比数列的性质可知451883aaaaa，所以13a，由339S，得21139aqq，所以2120qq，解得3q或4q（舍去），所以34181aaq.故选：B.练习3．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考期中）已知等比数列na满足312a，838a，若na的前n项和93nS，则n（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式求出公比q与1a，再根据等比数列的求和公式列式求解.【详解】设等比数列na的公比为q，因为312a，838a，所以5833181232aqa，解得12q，所以312124814aaq.因为93nS，所以11121961931212nna，所以13129632n,解得5n.故选:A.练习4．（2023·全国·高三专题练习）数列na中，112,20nnaaa，若其前k项和为86，则k________．【答案】7【分析】由题意可知na是以12a为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的前n项和公式求解即可.【详解】由112,20nnaaa可得：1=2nnaa，所以na是以12a为首项，公比为2的等比数列，所以其前k项和为2128612kkS，故12129k，即7k.故答案为：7练习5．（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）在等比数列na中，2632,8,naaaS是数列na的前n项和．若127mS，则m（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式列方程求解.【详解】设na的公比为q，则3338aqa，解得2q=，由21aaq，解得11a，所以122112712mmmS，解得7m.故选：C题型二等比中项及等比数列项的性质例3．（2023春·高二课时练习）已知等比数列na的前n项和为nS，且6424aa，3564aa，求8S.【答案】8255S或2553【分析】设等比数列na的公比为q，则0q，根据已知条件求出1a、q的值，利用等比数列求和公式可求得8S的值.【详解】解：设等比数列na的公比为q，则0q，由等比数列的性质可知342564aaa，解得48a，当48a时，642416aa，这与226480aaqq矛盾，所以，48a，则642432aa，所以，2644aqa，解得2q.①当2q=时，4131aaq，此时8818112255112aqSq；②当2q时，4131aaq，此时88181122551123aqSq.综上所述，8255S或2553.例4．（2023春·高三课时练习）已知数列{}na为等比数列.(1)若0na，且243546236aaaaaa，求35+aa的值；(2)若数列{}na的前三项和为168，2542aa，求5a，7a的等比中项.【答案】(1)6(2)3【分析】（1）利用等比数列的性质计算即可；（2）利用等比数列前n项和公式结合等比通项公式求出1,aq，再利用等比中项定义求解即可.【详解】（1）因为243546236aaaaaa，所以223355236aaaa，即235()36aa，又0na，所以356aa；（2）设等比数列{a}的公比为q，因为2542aa，所以1q.由已知得31342511(1)168142aqSqaaaqaq，即2131(1)168(1)42aqqaqq，解得19612aq，若G是5a，7a的等比中项，则有24621021057111196()92Gaaaqaqaq，所以3G，所以5a，7a的等比中项为3.练习6．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列na为等比数列，则（）A．数列2a，4a，8a成等比数列B．数列12aa，34aa，56aa成等比数列C．数列12aa，34aa，56aa成等比数列D．数列123aaa，456aaa，789aaa成等比数列【答案】BD【分析】根据比数列的定义，逐一判断选项.【详解】设等比数列na的公比为q，A.由等比数列的性质知242aqa，484aqa，当1q时，24qq，故A错误；B.可知数列12aa，34aa，56aa每项都不为0，且434561234aaaaqaaaa，故B正确．C.当数列na为1，1，1，1，1……时，1234560aaaaaa，故C错误；D.数列123aaa，456aaa，789aaa的每一项都不为0，且3456789123456aaaaaaqaaaaaa，故D正确.故选：BD练习7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na、nb满足*2lognnbanN.其中nb是等差数列，若1020132aa，则122022bbb_____________.【答案】1011【分析】根据等差数列的性质以及对数的运算求得120221bb，进而求解结论.【详解】数列na、nb满足*2lognnbanN.其中nb是等差数列，1020132aa，nb为等差数列，设公差为d，则1212,loglognnnnbaba，112lognnnnabbda，则12dnnaa，故na为等比数列，1202221220222120222102013loglogloglog1bbaaaaaa，12022122022202210112bbbbb.故答案为：1011.练习8．（2022·高三课时练习）已知等比数列na的首项为2，前2m项满足1321170maaaL，242340maaaL，则正整数m＝______.【答案】4【分析】利用等比数列的性质先求出公比，再由等比数列前n项和列出2mS，即可得到答案【详解】解：因为等比数列na的前2m项满足1321170maaaL，242340maaaL，所以132124213211321340=170mmmmaaaqaaaaaaaaaLLLL，所以公比2q=，所以2221217034051012mmS，解得4m，故答案为：4练习9．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列na中，公比0,1q，若355aa，26·4aa，2lognnba，数列nb的前n项和为nS，则数列nSn前n项和为______.【答案】174nn【分析】由已知求na的通项公式，进而可得nb的通项公式，再求nSn的通项公式并判断数列的性质，应用等差数列前n项和公式求nSn前n项和.【详解】由题意，35aa，由等比数列的性质可得3526353554aaaaaaaa，解得3541aa，∴21414101aqaqq，解得11612aq，115111622nnnnaaq，则2log5nnban，则数列nb为等差数列，245922nnnnnS，故92nSnn，12941721224nnnnnSSSnL，故答案为：174nn练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列的前n项和､前2n项和､前3n项和分别为P､Q､R，则下列等式正确的是（）A．PQRB．2QPRC．2()PQRQD．22()PQPQR【答案】D【分析】主要考察等比数列的性质，字母为主，对学生的抽象和逻辑思维能力要求比较高。【详解】当1q时，23111111,,111nnnaqaqaqPQRqqq当1q时，111,2,3PnaQnaRna对于A,当1q时，223111111211111nnnnnaqaqaqqaqPQRqqqq故A错，对于B,当1q时，222221143QnanaPR，故B错，对于C,当1q时，2221111()2304PQRnanananaQ，故C错，对于D,当1q时，2222222421122[(1)(1)](22)(1)(1)nnnnn