专题7.7 数列（2021-2023年）真题训练（解析版）

专题7.7数列1．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列nb：1111b，212111b，31231111b，…，依此类推，其中(1,2,)kkN．则（）A．15bbB．38bbC．62bbD．47bb【答案】D【分析】根据*1,2,kkN…，再利用数列nb与k的关系判断nb中各项的大小，即可求解.【详解】[方法一]:常规解法因为*1,2,kkN，所以1121，112111，得到12bb，同理11223111，可得23bb，13bb又因为223411,11112233411111，故24bb，34bb；以此类推，可得1357bbbb…，78bb，故A错误；178bbb，故B错误；26231111…，得26bb，故C错误；11237264111111…，得47bb，故D正确.[方法二]：特值法不妨设1,na则1234567835813213455b2,bb,bb,bb,b2358132134，，，，47bb故D正确.2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记nS为等差数列na的前n项和．若32236SS，则公差d_______．【答案】2【分析】转化条件为112+226adad，即可得解.【详解】由32236SS可得123122+36aaaaa，化简得31226aaa，即112+226adad，解得2d.故答案为：2.3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记nS为等比数列na的前n项和．若6387SS，则na的公比为________．【答案】12【分析】先分析1q，再由等比数列的前n项和公式和平方差公式化简即可求出公比q.【详解】若1q，则由6387SS得118673aa，则10a，不合题意.所以1q.当1q时，因为6387SS，所以6311118711aqaqqq，即638171qq，即33381171qqq，即3817q，解得12q.故答案为：124．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记nS为等比数列na的前n项和.若24S，46S，则6S（）A．7B．8C．9D．10【答案】A【分析】根据题目条件可得2S，42SS，64SS成等比数列，从而求出641SS，进一步求出答案.【详解】∵nS为等比数列na的前n项和，∴2S，42SS，64SS成等比数列∴24S，42642SS∴641SS，∴641167SS.故选：A.5．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知正项等比数列na中，11,naS为na前n项和，5354SS，则4S（）A．7B．9C．15D．30【答案】C【分析】根据题意列出关于q的方程,计算出q,即可求出4S.【详解】由题知23421514qqqqqq,即34244qqqq,即32440qqq,即(2)(1)(2)0qqq.由题知0q,所以2q=.所以4124815S.故选:C.6．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记nS为等差数列na的前n项和．若264810,45aaaa，则5S（）A．25B．22C．20D．15【答案】C【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列na的公差和首项，再根据前n项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列na的公差，再根据前n项和公式的性质即可解出．【详解】方法一：设等差数列na的公差为d，首项为1a，依题意可得，2611510aaadad，即135ad,又48113745aaadad，解得：11,2da，所以515455210202Sad．故选：C.方法二：264210aaa，4845aa，所以45a，89a，从而84184aad，于是34514aad，所以53520Sa．故选：C.7．（2021年全国新高考I卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm12dm，20dm6dm两种规格的图形，它们的面积之和21240dmS，对折2次共可以得到5dm12dm，10dm6dm，20dm3dm三种规格的图形，它们的面积之和22180dmS，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n次，那么1nkkS______2dm.【答案】541537202nn【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得nS，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）由对折2次共可以得到5dm12dm，10dm6dm，20dm3dm三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5312561032022，，；，共4种不同规格（单位2dm)；故对折4次可得到如下规格：5124，562，53，3102，3204，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为1202dm,第n次对折后的图形面积为111202n，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为1n种（证明从略），故得猜想1120(1)2nnnS，设0121112011202120312042222nknknSSL，则121112021203120120(1)22222nnnnS，两式作差得：211201111124012022222nnnS11601120122401212nnn112011203120360360222nnnnn，因此，4240315372072022nnnnS.故答案为：5；41537202nn.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于nnab结构，其中na是等差数列，nb是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于nnab结构，利用分组求和法；（4）对于11nnaa结构，其中na是等差数列，公差为0dd，则111111nnnnaadaa，利用裂项相消法求和.8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知na为等比数列，24536aaaaa，9108aa，则7a______.【答案】2【分析】根据等比数列公式对24536aaaaa化简得11aq，联立9108aa求出32q，最后得55712aaqqq.【详解】设na的公比为0qq，则3252456aqaaqaaaa，显然0na，则24aq，即321aqq，则11aq，因为9108aa，则89118aqaq，则3315582qq，则32q，则55712aaqqq，故答案为：2.9．（2021年全国新高考II卷数学试题）设正整数010112222kkkknaaaa，其中0,1ia，记01knaaa．则（）A．2nnB．231nnC．8543nnD．21nn【答案】ACD【分析】利用n的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.【详解】对于A选项，01knaaa，12101122222kkkknaaaa，所以，012knaaan，A选项正确；对于B选项，取2n，012237121212n，73，而0120212，则21，即721，B选项错误；对于C选项，3430234301018522251212222kkkknaaaaaa，所以，01852knaaa，2320123201014322231212222kkkknaaaaaa，所以，01432knaaa，因此，8543nn，C选项正确；对于D选项，01121222nn，故21nn，D选项正确.故选：ACD.10．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列na的公比为q，前n项和为nS，设甲：0q，乙：nS是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】当0q时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当nS是递增数列时，必有0na成立即可说明0q成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,时，满足0q，但是nS不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若nS是递增数列，则必有0na成立，若0q不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．11．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知等比数列na的前3项和为168，2542aa，则6a（）A．14B．12C．6D．3【答案】D【分析】设等比数列na的公比为,0qq，易得1q，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列na的公比为,0qq，若1q，则250aa，与题意矛盾，所以1q，则31123425111168142aqaaaqaaaqaq，解得19612aq，所以5613aaq.故选：D.12．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AABBCCDD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DDCCBBAA是举，1111,,,ODDCCBBA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DDCCBBAAkkkODDCCBBA．已知123,,kkk成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则3k（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9【答案】D【分析】设11111ODDCCBBA，则可得关于3k的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设11111ODDCCBBA，则111213,,CCkBBkAAk，依题意，有31320.2,0.1kkkk，且111111110.725DDCCBBAAODDCCBBA，所以30.530.30.7254k，故30.9k，故选：D13．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记nS为数列na的前n项和，