专题9.1 直线的方程（解析版）

专题9.1直线的方程题型一倾斜角与斜率题型二直线与线段的相交关系求斜率范围题型三求直线的方程题型四直线的定点问题题型五直线与坐标轴围成的三角形问题题型六直线平行或垂直题型七距离公式的应用题型八对称问题题型一倾斜角与斜率例1．（2023春·湖北荆州·高三统考阶段练习）若直线经过两点,1Am，23,2Bm，且其倾斜角为135°，则m的值为（）A．0B．12C．12D．34【答案】D【分析】根据两点斜率公式求解即可.【详解】经过两点,1Am，23,2Bm的直线的斜率为2112324kmmm，又直线的倾斜角为135°，∴1124m，解得34m．故选：D例2．（2023春·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中）直线21210axay的倾斜角的取值范围是（）A．π0,4B．ππ,42C．π3π,44D．π3π0,,π44【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.【详解】由题意知,若a=0,则倾斜角为π2,若0a,则211222aakaa,①当0a时，11212222aaaa(当且仅当1a时，取“”)，②当a0时，11212222aaaa(当且仅当1a时，取“”)，,11,k，故πππ3π,,4224，综上，π3π,44，故选：C.练习1．（2023秋·高二课时练习）若如图中的直线123,,lll的斜率为123,,kkk，则（）A．123kkkB．312kkkC．213kkkD．321kkk【答案】C【分析】设出三条直线的倾斜角，结合直线斜率的定义和正切函数图象，数形结合得到答案.【详解】设直线123,,lll的倾斜角分别为,,，显然πππ0,,,π,,π222，且，所以312tan0,tan0,tan0kkk，又tanyx在π,π2x上单调递增，故12tantankk，所以213kkk.故选：C练习2．（2023秋·高三课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则0180；②若直线倾斜角为，则它斜率tank；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜角的关系判断③和④的正误.【详解】对于①：若是直线的倾斜角，则0180；满足直线倾斜角的定义，则①正确；对于②：直线倾斜角为且90，它的斜率tank；倾斜角为90时没有斜率，所以②错误；对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为90时没有斜率，所以③正确；④错误；其中正确说法的个数为2.故选：B.练习3．（2023秋·高三课时练习）直线l的斜率为k，且33,3k，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．【答案】π2π0,,π63【分析】画出直线的区域，由图直观看出直线的倾斜角范围即可.【详解】如图：当直线l的斜率33,3k，直线l的倾斜角的取值范围为：π2π0,,π63.故答案为：π2π0,,π63.练习4．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为3，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________.【答案】212/0.5【分析】由已知结合直线的倾斜角与斜率关系及两角和与差的正切公式可求．【详解】解：设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为，则tan3，由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为45，45，因为tantan45tan4521tantan4313115，tantan451tan(45)1tantan452，所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为为2，12．故答案为：2，12．练习5．（2022秋·高三课时练习）（多选）若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线1l，则直线1l的倾斜角可能为（）A．45B．135C．45D．135【答案】BC【分析】由倾斜角的定义，分类讨论作出图形，数形结合分析即可.【详解】解析：当45时，直线1l的倾斜角为45（如直线AC旋转至直线AD）；当045时，直线1l的倾斜角为180(45)135（如直线AD旋转至直线AB）.故选：BC.题型二直线与线段的相交关系求斜率范围例3．（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y满足3yx，11x，则代数式32yx的取值范围为______【答案】5,73【分析】作图，根据代数式32yx的几何意义，结合图象即可得出答案.【详解】如图，1,2A，1,4B，2,3C，则325213ACk，34721BCk.因为3322yyxx，可表示点C与线段AB上任意一点,Mxy连线的斜率，由图象可知，ACMCBCkkk，所以有53732MCykx.故答案为：5,73.例4．（2023秋·高三课时练习）直线:10laxy与连接(2,3),(3,2)AB的线段相交，则a的取值范围是（）A．[1,2]B．[2,)(,1)C．[2,1](2,3)D．(,2][1,)【答案】D【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答.【详解】直线10axy过点0,1P.如图，由题意，直线l与线段AB总有公共点，即直线l以直线PA为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线PB即可，直线l的斜率为k，直线,PAPB的斜率分别为,PAPBkk，于是PBkk或PAkk，而3(1)2(1)2,12030PAPBkk，因此1k或2k，所以1a或2a，解得2a或1a，即a的取值范围是(,2][1,).故选：D.练习6．（2022秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知点2,3,3,2AB，若直线20axy与线段AB没有交点，则a的取值范围是（）A．54,,23B．45,32C．54,23D．45,,32【答案】B【分析】求出直线,CACB的斜率，结合图形得出a的范围．【详解】直线20axy过定点0,2C，且54,23ACBCkk，由图可知直线与线段AB没有交点时，斜率a满足5423a，解得45,32a，故选：B．练习7．（2023秋·高三课时练习）如图，已知两点2,3,3,0AB，过点1,2P的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．【答案】1,5,2【分析】根据题意结合图形求出直线AP的斜率APk，直线BP的斜率BPk，即得直线l斜率的取值范围．【详解】根据图形，∵直线AP的斜率是23=512APk，直线BP的斜率是201=132BPk，∴过点P的直线l与线段AB有公共点时，直线l的斜率的取值范围是1,5,2．故答案为：1,5,2．练习8．（2023·全国·高三对口高考）已知点1,1,2,2PQ，若直线:l0xmym与PQ的延长线（有方向）相交，则m的取值范围为_________．【答案】23,3【分析】先求出PQ的斜率，再利用数形结合思想，分情况讨论出直线的几种特殊情况，综合即可得到答案.【详解】如下图所示，由题知211213PQk，直线0xmym过点0,1M.当0m时，直线化为0x，一定与PQ相交，所以0m，当0m时，1lkm，考虑直线l的两个极限位置.①l经过Q，即直线1l，则1213202lk；②l与直线PQ平行，即直线2l，则213lPQkk，因为直线l与PQ的延长线相交，所以11332m，解得233m，所以23,3m.故答案为：23,3.练习9．（2022·全国·高二专题练习）已知(1,2)A,(2,4)B，点(,)Pxy是线段AB上的动点，则yx的取值范围是______.【答案】(,2][2,)【分析】根据yx的几何意义即可求解.【详解】如图所示：因为(1,2)A,(2,4)B，所以20210OAk，40220OBk，00OPyykxx，因为点(,)Pxy是线段AB上的动点，所以(,2][2,)OPykx.故答案为：(,2][2,)练习10．（2022秋·福建泉州·高三校考阶段练习）（多选）若直线l经过点(1,2)A，在x轴上的截距的取值范围是()3,3，则直线l斜率的取值可能是（）A．12B．2C．1D．12【答案】BC【分析】根据给定条件，结合图形求出直线l的斜率取值范围，即可作答.【详解】令点(3,0),(3,0)BC，依题意，直线l与x轴的交点在线段BC上（不含端点B，C），如图，直线AB斜率2011(3)2ABk，直线AC斜率20113ACk，因此直线l的斜率1k或12k，所以直线l斜率的取值可能是2或1.故选：BC题型三求直线的方程例5．（2023秋·高二课时练习）由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是12，经过点(8,2)A；(2)经过点(4,2)B，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是3,32；(4)经过两点(3,2),(5,4)AB；(5)在x轴上的截距是7，倾斜角是45；(6)倾斜角为60，与y轴的交点到x轴的距离是3．【答案】(1)240xy(2)20y(3)230xy(4)10xy(5)70xy(6)330xy或330xy【分析】（1）由点斜式可得结果；（2）由点斜式可得结果；（3）由截距式可得结果；（4）由两点式可得结果；（5）由点斜式可得结果；（6）由斜截式可得结果.【详解】（1）由点斜式得12(8)2yx，即240xy.（2）因为直线平行于x轴，所以斜率等于0，由点斜式得20(4)yx，即20y.（3）因为在x轴和y轴上的截距分别是3,32；所以直线方程的截距式为：1332xy，即230xy.（4）由两点式得234253yx，即10xy.（5）斜率tan451k，由点斜式得07yx，即70xy.（6）斜率为tan603，因为直线与y轴的交点到x轴的距离是3，所以直线在y轴上的截距为3，所以所求直线方程为33yx或33yx，即330xy或330xy.例6．（2023·高三课时练习）已知直线l的倾斜角为，3sin5，且这条直线经过点3,5P，求直线l的一般式方程．【答案】34110xy或34290xy.【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，再利用点斜式方程求解作答.【详解】直线l的倾斜角为，3sin5，当为锐角时，4cos