专题9.2 圆的方程（解析版）

专题9.2圆的方程题型一求圆的方程题型二二元二次方程表示的曲线与圆的关系题型三点与圆的位置关系题型四圆的对称的应用题型五直线与圆的位置关系题型六圆与圆的位置关系题型七圆的（公共）弦长问题题型八圆的（公）切线与切线长题型九距离的最值问题题型一求圆的方程例1．（2022选修第一册北京名校同步练习册）圆2224110xyxy的半径为（）A．2B．4C．8D．16【答案】B【分析】将圆的方程配成标准式，即可判断.【详解】圆2224110xyxy，即221216xy，所以半径4r.故选：B例2．（2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知圆C过点(1,0)，(0,3)，(3,0)，则圆C的方程为___．【答案】22230xyx【分析】设圆的一般方程，然后将点代入组成方程组解出即可.【详解】根据题意，设圆的方程为220xyDxEyF又由圆C过点(1,0)，(0,3)，(3,0)，则有10330930DFEFDF，解可得2D，0E，3F，即圆的方程为：22230xyx，故答案为：22230xyx.练习1．（2022·高三单元测试）已知AB为圆22:2230Cxyxy的直径，点A的坐标为0,1，则点B的坐标为______．【答案】2,3【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，设00,Bxy，再利用中点坐标公式得到方程组，解得即可.【详解】解：圆22:2230Cxyxy即22115xy，所以圆心坐标为()1,1-，设00,Bxy，又因为0,1A，所以由中点坐标公式得001202yx，解得0032yx，所以点B的坐标为2,3．故答案为：2,3练习2．（2021春·河北·高二统考学业考试）若圆C：220xyxym的半径为1，则实数m（）A．14B．12C．14D．12【答案】D【分析】将圆的一般方程转化为圆的标准方程即可求解.【详解】由220xyxym，得221124224mxy，所以圆C的圆心为11,22，半径为242mr，因为圆C：220xyxym的半径为1，所以2412m，解得12m，故实数12m.故选：D.练习3．（2023·全国·高三对口高考）经过三点2,3,2,1,4,1ABC的圆的方程为________．【答案】22290xyx【分析】设圆的一般方程，用待定系数法求解即可.【详解】设圆的方程为220xyDxEyF，则132302520017409DEFDDEFEDEFF，∴圆的方程为：22290xyx.故答案为：22290xyx练习4．（2022秋·高三校考课时练习）已知圆心的坐标为（2，-3），一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则这个圆的一般方程为________.【答案】x2+y2-4x+6y=0【分析】依题意可判断出圆恰好过原点，从而可求出圆的半径，圆的标准方程，再化为一般方程即可.【详解】因为直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，故半径为222(3)13，所以圆的标准方程为22(2)(3)13xy，化为一般方程为x2+y2-4x+6y=0.故答案为：x2+y2-4x+6y=0练习5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知直线l过点3,2且与直线712yx垂直，圆C的圆心在直线l上，且过6,0A，1,5B两点．(1)求直线l的方程；(2)求圆C的标准方程．【答案】(1)2780xy(2)223213xy【分析】（1）由题设:270lxym，代入(3,2)得出直线l的方程；（2）设圆心28,7tCt，根据ACBCr得出圆C的标准方程.【详解】（1）由题设:270lxym，代入(3,2)得8m，于是l的方程为2780xy.（2）设圆心28,7tCt，则ACBCr，即22222828615497tttt，解得：3t，13r，又圆心3,2C，圆C的标准方程为223213xy.题型二二元二次方程表示的曲线与圆的关系例3．（2022-2023学年高二同步练习）设方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4-7m2+9=0，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程.【答案】21,4316myx，，17(,)6x.【分析】将方程配方，利用圆的方程建立不等式，即可求出实数m的取值范围；然后根据圆的圆心坐标，再消去参数，根据实数m的取值范围，可求得圆心的轨迹方程．【详解】配方得222[(3)][(14)]16xmymm，若该方程表示圆，则有160m，得1(,)6m.由标准方程知圆心的轨迹方程为2341xmym，消去m，得24(3)1yx.由1(,)6m，得173(,)6xm.故所求的轨迹方程是24(3)1yx，17(,)6x.例4．（2023届甘肃省定西市高三下学期高考模拟考试文科数学试题）若点2,1在圆220xyxya的外部，则a的取值范围是（）A．1,2B．1,2C．14,2D．1,4,2【答案】C【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.【详解】依题意，方程220xyxya可以表示圆，则22(1)140a，得12a；由点2,1在圆220xyxya的外部可知：2221210a，得4a.故142a.故选：C练习6．（2023秋·甘肃天水·高三统考期末）若方程225302xykxyk表示圆，则k的取值范围是________．【答案】,19,【分析】根据圆的一般方程的形式，列出关于k不等式，即可求解.【详解】由方程225302xykxyk表示圆，则满足2253402kk，整理得21090kk，解得1k或9k，即实数k的取值范围是,19,.故答案为：,19,.练习7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C的方程2222480xyxyF，则“10F”是“曲线C是圆”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案.【详解】2222480xyxyF，即222402Fxyxy，∴曲线C是圆222440102FF，∴“10F”是“10F”的必要不充分条件.故选：A.练习8．（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知点1,2P为圆2240xyxym外一点，则实数m的取值范围为（）A．2,B．17,4C．172,4D．172,4【答案】D【分析】结合点在圆外条件，及2240xyxym表示圆的方程可得答案.【详解】因1,2P在圆外，则2212180m，得m2.又2240xyxym表示圆，则221440m，得174m.综上：1724m.故选：D练习9．（2022秋·河南许昌·高三禹州市高级中学校考阶段练习）方程222210xyaxaya表示圆，则实数a的可能取值为（）A．1B．2C．0D．2【答案】D【分析】先把222210xyaxaya整理成圆的标准形式，满足右边关于a的表达式大于零.【详解】由222210xyaxaya，可得22252124aaxyaa，所以252104aa，解得25a或2a，选项中只有2符合题意.故选：D.练习10．（2022秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）方程22245xyxy表示的几何图形是（）A．一点和一圆B．两点C．一圆D．两圆【答案】A【分析】分2450xy，2450xy讨论，结合条件及圆的方程即得.【详解】由22245xyxy可得，当2450xy时，22245xyxy，即221210xy表示以1,2为圆心，以10为半径的圆，当2450xy时，222450xyxy，即22120xy，表示点1,2，综上，方程22245xyxy表示的几何图形是一点和一圆.故选：A.题型三点与圆的位置关系例5．（2023秋·福建三明·高三统考期末）（多选）已知圆的方程为22240xyxy，以下各点在圆内的是（）A．0,1B．1,1C．2,2D．3,4【答案】AC【分析】利用代入验证法确定正确答案.【详解】2201204130，A选项正确.2211214140，B选项错误，2222224240，C选项正确.2234234430，D选项错误.故选：AC例6．（2022秋·高二校考课时练习）若点1,1aa在圆22240xyay的内部，则a的取值范围是（）.A．1aB．01aC．115aD．1a【答案】D【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.【详解】由题可知，半径24ra=+，所以aR，把点1,1aa代入方程，则22112140aaaa，解得1a，所以故a的取值范围是1a.故选：D练习11．（2023·高三课时练习）直线220xyk与yxk的交点在曲线2225xy上，则k______．【答案】1【分析】先联立方程求出两直线的交点坐标，再代入曲线的方程进行求解.【详解】联立220xykyxk，得43xkyk，即直线220xyk与yxk的交点为(4,3)kk，因为两直线的交点(4,3)kk在曲线2225xy上，所以22(3)2)5(4kk，解得1k.故答案为：1.练习12．（2023春·湖南·高三校联考期中）若不同的四点1,0,2,1,5,0,,8ABCDa共圆，则实数a__________．【答案】-1或5【分析】先由A、B、C三点确定其外接圆，再计算即可.【详解】易知圆心在线段AC的垂直平分线上，该直线方程为2x，设圆心坐标为2,b，半径为r，所以291bbr，解得4,5br，所以所求圆的方程为22(2)(4)25xy，点,8Da在圆22(2)(4)25xy上，所以22(2)(84)25a，解得1a或5a．故答案为：-1或5练习13．（2022秋·高三单元测试）直线240lxmym：与圆22420Oxyxy:的位置关系为（）A．相交B．相切C．相交或相切D．不确定【答案】A【分析】易得直线l过定点2,1，判断出点2,1与圆的位置关系即可得出结论.【详解】由直线240lxmym：，得2410xmy，令10240yx，则12yx，所以直线l过定点2,1，因为2221422110，所以点2,1在圆22420Oxyxy:内，