专题9.6 直线与圆锥曲线（解析版）

专题9.6直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系题型二弦长问题题型三三角形（四边形）问题题型四中点弦问题题型五求参数范围及最值问题题型六定点问题题型七定值问题题型八定直线问题题型九圆锥曲线的切线问题题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）已知直线1ykx与双曲线221xy没有公共点，则k的取值范围是（）A．,11,B．1,1C．,22,D．2,2【答案】C【分析】将直线方程与双曲线方程联立，消去y，利用判别式研究即可.【详解】联立2211ykxxy，消去y得221220kxkx，当210k时，方程有解，即直线1ykx与双曲线221xy有公共点；当210k时，224810kk，解得2k或2k.故选：C.例2．（2023春·上海浦东新·高三统考期中）已知椭圆22:1259xyC，直线:(2420)mxmylmmR，则直线l与椭圆C的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【答案】A【分析】根据直线方程可得直线l过定点3,2A，判断点3,2A与椭圆C的位置关系即可得结果.【详解】对于直线2:420mxmyml，整理得12210mxyxy，令10210xyxy，解得32xy，故直线l过定点3,2A.∵22321811259225，则点3,2A在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.故选：A.练习1．（2022秋·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）直线l：10axya与椭圆22132xy的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相交【答案】A【分析】方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆的位置关系；方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由判断出直线l与椭圆的位置关系.【详解】方法1：∵10axya，即：(1)10axy，∴直线l恒过定点(1,1)M，又∵椭圆22132xy∴221(1)132，∴定点M在椭圆内，∴直线l与椭圆相交.方法2：222221(32)6(1)3(21)03210xyaxaaxaaaxya∴222222136(1)12(32)(21)48482448()1202aaaaaaaa恒成立，∴直线l与椭圆相交.故选：A.练习2．（2023秋·高二课时练习）已知直线:(1)lykx，抛物线2:4Cyx，l与C有一个公共点的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．1条、2条或3条【答案】C【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的k的取值个数即可.【详解】联立直线:(1)lykx和抛物线2:4Cyx方程可得22(1)4kxx，整理可得2222240kxkxk，直线l与C有一个公共点等价于方程只有一个实数根，当0k时，方程为40x仅有一解，符合题意；当0k时，一元二次方程2222240kxkxk仅有一解，即22222440kkk，解得1k，所以满足题意得直线有三条，即0y，1yx和=1yx.故选：C练习3．（2021秋·高三单元测试）讨论直线:1lykx与双曲线22:1Cxy的公共点的个数．【答案】答案见解析【分析】联立方程组得到22(1)220kxkx，结合一元二次方程的性质，分类讨论，即可求解.【详解】联立方程组2211ykxxy，整理得22(1)220kxkx，当210k时，即1k时，具体为：当1k时，=1x；当1k时，1x；此时直线与双曲线有一个交点；当210k时，即1k时，可得22248(1)84kkk，由0，即2840k，可得22k且1k，此时直线与双曲线有两个交点；由Δ0，即2840k，可得2k，此时直线与双曲线只有一个交点；由0，即2840k，可得2k或2k，此时直线与双曲线没有交点；综上可得：当(2,1)(1,1)(1,2)k时，直线l与双曲线C有两个公共点；当2k或1k时，直线l与双曲线C有一个公共点；当(,2)(2,)k时，直线l与双曲线C没有公共点.练习4．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线E：22221xyab（0a，0b）的左，右焦点分别为1F，2F，过左焦点1F作斜率为32的直线l与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），P是AB的中点，若2ABF△是等边三角形，则直线OP的斜率为______．【答案】43【详解】设双曲线E的半焦距为c，0c，根据题意得1212BFBFAFa．又212AFAFa，∴24AFa．在12BFF△中，由余弦定理得，222121212π2cos3FFBFBFBFBF，即22212642642caaaa，解得7ca，则6ba．设11,Axy，22,Bxy，则2211221xyab，2222221xyab，两式相减可得1212121222110xxxxyyyyab，所以21212212126yyyybxxxxa．设,ppPxy，因为P是线段AB的中点，所以122pxxx，122pyyy，又121232AByykxx，所以121243OPyykxx．故答案为：43.练习5．（2023·全国·高三对口高考）已知实数x，y满足：22134xy，则12xy的最大值为（）A．3B．2C．5D．5【答案】B【分析】令12mxy，问题化为220xym与22134xy有交点情况下，直线在x轴上截距最大，联立方程求相切情况下m值，即可得最大值.【详解】令12mxy，则直线220xym与22134xy有交点情况下，直线在x轴上截距最大，假设直线与椭圆相切，则223()3xxm，即2246330xmxm，所以223648(1)0mm，可得24m，即2m，要使220xym在x轴上截距最大，即2m.故选：B.题型二弦长问题例3．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）过抛物线220ypxp的焦点F作直线，交抛物线于13,Ay，22,By两点，若8AB，则p（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】如图所示，由题得(,0)2pF，利用抛物线的定义化简||||8ABAFBF即得解.【详解】如图所示，由题得(,0)2pF，抛物线的准线方程为2px.所以||||328,322ppABAFBFp.故选：C例4．（2023·全国·高三对口高考）过椭圆2219xy的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且23AB，则这样直线的条数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】先求过左焦点的通径长度，由椭圆的性质：过左焦点的弦长最短为通径长，最长为长轴长，结合已知弦长判断直线的条数即可.【详解】左焦点为()22,0，若直线垂直x轴，则直线为22x，代入椭圆方程得2819y，可得13y，此时通径长23AB，所以，由椭圆性质知：23AB的直线有仅只有一条.故选：B练习6．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆2219xy，过左焦点F作倾斜角为π6的直线交椭圆于A、B两点，则弦AB的长为_________．【答案】2【分析】设点11,Axy、22,Bxy，将直线AB的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得AB的值.【详解】在椭圆2219xy中，3a，1b，则2222cab，故点22,0F，设点11,Axy、22,Bxy，由题意可知，直线AB的方程为()3223yx=+，即322xy，联立2232299xyxy可得2124610yy，1664121440，由韦达定理可得1263yy，12112yy，所以，22121261134242312AByyyy.故答案为：2.练习7．（2023·北京·人大附中校考三模）已知抛物线22(0)ypxp的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，10AB，AB的中点横坐标为4，则p_____________．【答案】2【分析】根据抛物线定义有ABBxpAx，结合已知即可求参数p的值.【详解】由抛物线定义知：10ABABxxp，而AB的中点横坐标为4，即42ABxx，所以810p，即2p.故答案为：2练习8．（2023春·广东·高三统考开学考试）设抛物线2:4Eyx的焦点为F，过点F的直线与E相交于A，B两点，则2AFBF的最小值为（）A．322B．232C．3D．22【答案】A【分析】根据抛物线焦点弦的性质得111AFBF，进而根据基本不等式即可求解最值.【详解】因为直线AB过焦点1,0F，设直线AB为1xmy，设1122,,,AxyBxy,联立2244401yxymyxmy，则12124,4yymyy，故()()22121212121224211xxmyym,xxmyymyy+=++=+=+++=所以121212121212221111111111xxxxAFBFxxxxxxxx，所以211223322BFAFAFBFAFBFAFBFAFBF，当且仅当2BFAFAFBF时，等号成立．故选：A练习9．（2023·山东·模拟预测）过双曲线222xy的左焦点作直线l，与双曲线交于,AB两点，若AB4，则这样的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】D【分析】设直线方程与双曲线联立，利用弦长公式解方程判断根的个数即可.【详解】由题意得双曲线左焦点2,0，当直线垂直于横轴时，22AB不符合题意，双曲线渐近线方程为yx；故可设1122:21,,,,lykxkAxyBxy，与双曲线联立可得2222222144202ykxkxkxkxy，22121222442,11kkxxxxkk，由弦长公式知22222122811141211kABkxxkkkk，则21k或21k.故存在四条直线满足条件.故选：D练习10．（2023春·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知焦点在y轴上的椭圆C，过点(2,0)，离心率32e直线l:2yxb被椭圆C所截得的弦长为35，(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数b的值.【答案】(1)221164yx；(2)2b.【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆C的长短半轴长即可作答.（2）联立直线l与椭圆C的方程，利用弦长公式求解作答.【详解】（1）因为椭圆C的焦点在y轴上，且过点(2,0)，则椭圆C的短半轴长为2，设其长半轴长为a，由离心率32e得：2222224314aeaa，解得216a，所以椭圆C的标准方程是221164yx.（2）由222416yxbxy消去y并整理得：2284160xbxb，有221632(16)0bb，即232b，设直线l被椭圆C所截弦的端点1122(,),(,)AxyBxy，于是212