专题9.7 求轨迹方程（解析版）

专题9.7求轨迹方程题型一直接法题型二定义法题型三相关点法题型四交轨法题型五参数法题型六点差法题型七利用韦达定理求轨迹方程题型一直接法例1．（2022秋·高三课时练习）若动点P到定点1,0F和直线l：0y的距离相等，则动点P的轨迹是（）A．线段B．直线C．椭圆D．抛物线【答案】B【分析】设动点P的坐标为(,)xy，由条件列方程化简可得点P的轨迹方程，由方程确定轨迹.【详解】设动点P的坐标为(,)xy，则2210xyy．化简得1x．故动点P的轨迹是直线1x．故选：B.例2．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线:2lx与x轴交于点A，过l右侧的点P作PMl，垂足为M，且PAPMOA．(1)求点P的轨迹C的方程；【答案】(1)2412yx【分析】（1）根据提意思，设(,)Pxy，得到(2,)My，结合PAPMOA，利用距离公式化简，即可求解曲线C的方程；【详解】（1）由题意，直线:2lx与x轴交于点A，过l右侧的点P作PMl，可得(),0,0,0()2OA，设(,)Pxy，则(2,)My，因为PAPMOA，可得22(2)(2)2xyx，即22(2)4xyx，整理得2412yx.练习1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系xOy中，6,0,6,1AB点P满足2POPA，则动点P的运动轨迹方程为__________；2PBPA的最小值为__________.【答案】22(8)16xy37【分析】设出,Pxy，由题意列出方程组，化简即可得到点P的轨迹方程；【详解】设,Pxy，由题意可得222200260xyxy，整理得22(8)16xy，故动点P的运动轨迹方程为22(8)16xy，如图所示，点P的轨迹为以8,0为圆心，4为半径的圆，点B在圆内部，所以222601037PBPAPBPOBO，当且仅当P在线段BO上时等号成立，所以2PBPA的最小值为37，故答案为：22(8)16xy；37练习2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）点P到定点3,0F的距离与到253x的距离之比为35，则点P的轨迹方程为____，P与5,0,5,0AB连线的斜率分别为1K，2K，则2212KK的最小值为____.【答案】2212516xy3225【分析】设出点P坐标，依据题意列出方程，化简即可得出答案；利用两点的斜率公式写出12KK，再利用P的轨迹方程进行化简，最后利用重要不等式求出2212KK的最小值.【详解】设点P的坐标为(,)xy,由题意可知22=3PFxy，P到253x的距离为253x，由题意得22335253xyx，化简得2212516xy，所以P的轨迹方程为2212516xy.又由题意15yKx，25yKx，则212225yKKx，又因为P在曲线上，所以2212516xy，化简得22211625252165xyx，代入212225yKKx得121625KK，.又因为22121232225KKKK，所以2212KK的最小值为3225.故答案为：2212516xy，3225练习3．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知平面内点P与两定点12(2,0),(2,0)QQ连线的斜率之积等于14．(1)求点P的轨迹连同点12,QQ所构成的曲线C的方程；【答案】(1)点P的轨迹方程为22124xyx，曲线C的方程为2214xy.【分析】（1）由求轨迹的方程的步骤结合两点间的斜率公式，即可求得11||11TNONONyOTNTOTONyON，通过基本不等式，求得的最大值.【详解】（1）设点,Pxy为轨迹上任意一点，由题意得2x，则122PQykxx，222PQykxx，1222122244PQPQyyykkxxxx，故点P的轨迹方程为22124xyx，所以点P的轨迹连同点12,QQ所构成的曲线C的方程为2214xy.练习4．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点10,2的距离，记动点P的轨迹为W．(1)求W的方程；【答案】(1)214yx【分析】（1）设(,)Pxy，根据题意列出方程22212xyy，化简即可；【详解】（1）设(,)Pxy,则2212yxy，两边同平方化简得214yx，故21:4Wyx.练习5．（2022秋·高二课时练习）在直角坐标系xOy中，已知点2,2,2,2AB，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足：2AMBMkk.(1)求点M的轨迹C的方程;【答案】(1)222xyx【分析】（1）设出,Mxy，表达出AM与BM的斜率，得到方程，求出轨迹方程；【详解】（1）设,Mxy，又2,2,2,2AB，则22222AMBMyykkxx，整理得22xy，可得点M满足方程222xyx，则M的轨迹C的方程为222xyx.题型二定义法例3．（2023秋·高二课时练习）已知ABC的三边a，b，c成等差数列，且abc，A、C两点的坐标分别为(1,0),(1,0)，则顶点B的轨迹方程为__________．【答案】221(20)43xyx【分析】由ABC的三边a，b，c成等差数列，可得点B的轨迹满足椭圆的定义，可求出椭圆方程，再结合abc和B、A、C三点构成ABC，可得顶点B的轨迹是此椭圆的部分，可得其轨迹方程.【详解】因为ABC的三边a，b，c成等差数列，A、C两点的坐标分别为(1,0),(1,0)，所以2acb，即242BCBAAC，所以点B的轨迹满足椭圆的定义，此椭圆是以A、C为焦点，长轴长为4的椭圆，故椭圆方程为22143xy，因为abc，所以BCBA，所以0x，又因为B、A、C三点构成ABC，所以B、A、C三点不能在一条直线上，所以2x，所以顶点B的轨迹方程为221(20)43xyx.故答案为：221(20)43xyx例4．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）如图，在ABC中，点1,0,1,0AB.圆I是ABC的内切圆，且CI延长线交AB于点D，若2CIID.(1)求点C的轨迹Ω的方程；【答案】(1)221043xyy【分析】（1）抓住内切圆的性质找到等量关系，再由定义法即可求结果；【详解】（1）解：据题意，2CICACBCACBIDADBDADBD，从而可得42CACB，由椭圆定义知道，C的轨迹为以AB､为焦点的椭圆，所以所求的椭圆Ω的方程为221043xyy.练习6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆A：2229xy（），圆B：2221xy（），圆C与圆A、圆B外切，求圆心C的轨迹方程;E【答案】22113yxx，，【分析】根据圆C与圆A、圆B外切，得到24CACB，再利用双曲线的定义求解.【详解】因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标xy（，），圆C半径为r，则3CAr，1CBr，所以24CACB，所以点C的轨迹是双曲线的一支，又242cc，，221aa，，2223bca，所以其轨迹方程为22113yxx，，.练习7．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）已知点12,0F，圆222:(2)32Fxy，点Q在圆2F上运动，1QF的垂直平分线交2QF于点P.(1)求动点P的轨迹的方程C；【答案】(1)22184xy【分析】（1）利用椭圆定义即可求得动点P的轨迹的方程C；【详解】（1）由题意：12212424PFPFQFFF，动点P是以12,FF为焦点，长轴长为42的椭圆.设椭圆标准方程为22221(0)xyabab，则222,2,4acb，动点P的轨迹的方程C为22184xy.练习8．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）已知平面上的点,,,ABMN满足6,4,2,3ABMAMBNBNABMAN，则ABMN__________.【答案】36【分析】根据双曲线和圆的定义，求出,MN所在曲线的的方程，联立方程组，求出,MN的横坐标，再利用向量数量积的坐标公式即可求解.【详解】以AB中点O为原点，OB为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则,3,03,0AB，因为4MAMBAB，4NBNAAB，所以点M､N分别在以A，B为焦点的双曲线的右支和左支上，且24a，26c，所以2a，3c，所以双曲线方程为22145xy；因为2BM，所以点M在以B为圆心，半径为2的圆上，即点M在圆22(3)4xy上，因为3AN，所以点N在以A为圆心，半径为3的圆上，即点N在圆22(3)9xy上，联立2222145(3)4xyxy，因为0Mx，可求83Mx，联立2222145(3)9xyxy，因为0Nx，可求103Nx，因为(6,0)AB，(,)NMNMxxyMNy，故866()363103NMABMNxx.故答案为：36.练习9．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）（多选）设(20)A，，圆22:(2)4Bxy（B为圆心），P为圆B上任意一点，线段AP的中点为Q，过点Q作线段AP的垂线与直线BP相交于点R．当点P在圆B上运动时，点Q的轨迹为曲线1C，点R的轨迹为曲线2C，则下列说法正确的有（）A．曲线1C的方程为221xyB．当点Q在圆B上时，点Q的横坐标为14C．曲线2C的方程为2213yxD．1C与2C无公共点【答案】ABC【分析】对于A，连接OQ，则可得121OQBP，从而可得曲线1C的方程；对于B，圆B的方程与曲线1C的方程联立求解即可；对于C，连接AR，则可得2RARB，从而可得点R的轨迹为双曲线；对于D，求出曲线2C的方程，然后判断.【详解】如图1、图2，连接OQ．因为点Q为线段AP的中点，O为线段AB的中点，所以121OQBP，所以点Q的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，即曲线1C的方程为221xy，故A正确；当点Q在圆B上时，圆B的方程与曲线1C的方程联立，可得14x，故B正确；连接AR，由于直线QR为线段AP的中垂线，所以RARP，所以2RARBRPRBBP，所以点R的轨迹为以(2,0),(2,0)AB为焦点，2为实轴的双曲线，所以曲线2C的方程为2213yx，故C正确；由选项C可知，所以曲线2C的方程为2213yx，所以1C与2C有两个公共点，故D错误．故选：ABC．练习10．（2023·河南驻马店·统考二模）已知直线1lx轴，垂足为x轴负半轴上的点E，点E关于坐标原点O的对称点为F，且4EF，直线12ll，垂足为A，线段AF的垂直平分线与直线2l交于点B．记点B的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程．【答案】(1)28yx【分析】（1）根据垂直平分线性质，结合抛物线定义可解；【详解】（1）由题意可得ABBF，即点B到点F的距离等于点B到直线1l的距离．因为4EF，所以1l的方程为2x，2,0F，则点B的轨迹C是以F为焦点，直线1:2lx为准线的抛物线，故点B的轨迹C的方程为28yx．题型三相关点法例5．（2023春·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校