专题9.8 解析几何综合练（解析版）

专题9.8解析几何综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题）已知圆C的一条直径的两个端点是分别是(1,1)O和(3,3)A，则圆的标准方程是（）A．222(2)1xyB．222(2)2xyC．222(2)2xy【答案】C【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程.【详解】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是(1,1)O和(3,3)A，所以圆心为(2,2)M，直径为222313122R，所以圆的标准方程是222(2)2xy.故选：C.2．（2021秋·高三课时练习）已知圆C与圆2220xyy关于直线20xy对称，则圆C的方程是（）A．2211xyB．22321xyC．22321xyD．22231xy【答案】B【分析】设所求圆的圆心,Cab，根据点关于直线的对称得到关于,ab的方程，解出即可.【详解】将圆2220xyy化成标准形式得2211xy，所以已知圆的圆心为0,1，半径1r，因为圆C与圆2220xyy关于直线20xy对称，所以圆C的圆心C与点0,1关于直线20xy对称，半径也为1，设,Cab可得110012022baab，解得32ab，所以3,2C，圆C的方程是22321xy，故选：B3．（2021秋·高三课时练习）直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，而且它的斜率是直线333xy的斜率的相反数，则（）A．3m，1nB．3m，1nC．3m，1nD．3m，1n【答案】D【分析】根据已知表示出直线mx+ny+3=0的截距以及斜率，即可得出答案.【详解】因为直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，所以，0-3n+3=0，解得1n.因为直线333xy的斜率为3，由已知可得，直线mx+ny+3=0的斜率为3，即3mn.所以3m.故选：D.4．（2023秋·河南平顶山·高三统考期末）已知双曲线C：2221(0)yxbb的焦点到渐近线的距离为2，直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点为1,2N，则直线l的斜率为（）A．1B．1C．2D．2【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线l的斜率.【详解】因为双曲线的标准方程为2221(0)yxbb，所以它的一个焦点为(,0)c，一条渐近线方程为0bxy，所以焦点到渐近线的距离2=2+1bcdb，化简得2222(1)bcb，解得22b，所以双曲线的标准方程为2212yx，设1122(,),(,)AxyBxy，所以221112yx①，222212yx②，①-②得，222212121()()02xxyy，化简得121212121()()()()02xxxxyyyy③，因为线段AB的中点为1,2N，所以12122,4xxyy，代入③，整理得1212xxyy，显然1212,xxyy，所以直线l的斜率12121yykxx.故选：B5．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyCabab，A，B分别是C的左顶点和上顶点，F是C的左焦点，若tan2tanFABFBA，则C的离心率为（）A．12B．32C．352-D．512【答案】C【分析】根据椭圆的性质结合锐角三角函数，在RtABO△和RtBFO△在求出FAB，BFO的正切值，由两角差的正切公式求出FBA的正切值，结合题目条件得a，c的关系，即求出椭圆的离心率.【详解】由题意作出图形，如下图所示：可知：OAa，OBb，OFc，在RtABO△中可得：tantanbBAOFABa，在RtBFO△中可得：tanbcBFO，所以tantantantan()1tantan1bbBFOFABcaFBABFOFABbbBFOFABca化简得：2()tanbacFBAacb因为tan2tanFABFBA，所以2()2bbacaacb①，又222bac，所以①整理可得：2230caac，即2310ee，解得352e，又(0,1)e，所以352e，故选：C.6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知抛物线220ypxp上一点1,0Mmm到其焦点的距离为5，双曲线2221xya的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（）A．13B．14C．19D．12【答案】A【分析】由152p得抛物线方程，M在抛物线上求得M坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线AM平行可得答案.【详解】根据题意，抛物线22(0)ypxp上一点(1,)(0)Mmm到其焦点的距离为5，则点M到抛物线的准线2px的距离也为5，即152p，解得8p，所以抛物线的方程为216yx，则216m，所以4m，即M的坐标为14（，），又双曲线2221xya的左顶点,0Aa，一条渐近线为1yxa，而41AMka，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则有411aa，解得13a.故选：A7．（2021秋·广东深圳·高三深圳中学校考期中）已知双曲线C的离心率为32，焦点为12,FF，点A在C上，若122FAFA，则21cosAFF（）A．13B．14C．15D．16【答案】B【分析】根据双曲线离心率可得32ca，根据双曲线定义推出12,24aFAaFA，利用余弦定理即可求得答案.【详解】由题意双曲线C的离心率为32，焦点为F1、F2，点A在C上，故不妨设12,FF为左、右焦点，由122FAFA可知A在双曲线右支上，则12||||2FAFAa，故12,24aFAaFA，由于双曲线C的离心率为32，则32ca，即32ca，在21AFF中，222222212121212||||||4416cos2||||222FAFFAFacaAFFFAFFac22249161423222aaaaa，故选：B8．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知椭圆2214xy的左右焦点分别为1F与2F，点P在直线l：3430xy上．当12FPF取最大值时，比12PFPF的值为（）A．32B．22C．21D．31【答案】D【分析】由米勒最大张角定理确定P点位置，利用正弦定理计算即可.【详解】补充：米勒最大张角定理，已知点AB是∠MON的边ON上两定点，点P为边OM上一动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大.证明：如下图所示，当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时(圆心为Q)，取OM上任一点P，连接PAPB、交圆Q于C，显然∠APB=∠ACB≥∠APB，当且仅当PPC、、重合时∠APB取得最大值.如图所示，由题意易得13,0F，根据米勒最大张角定理可知：当12PFF△的外接圆与直线l相切于P时，此时夹角12FPF最大，设其圆心0,Qt，则221433383683702tPQQFttt，解之得1t或837t，由圆的性质知：1212tantan2FQFFPF，显然1t时1212tantan32FQFFPF，张角最大为60°，而此时122175,45,PFFPFF则122sin45231sin75624PFPF.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（浙江省新阵地教育联盟2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试题）已知圆的方程为22420xyx，下列结论正确的是（）A．该圆的面积为4πB．点2,1在该圆内C．该圆与圆221xy相离D．直线40xy与该圆相切【答案】BD【分析】首先将圆的方程写为标准方程，得出圆心坐标和半径，对于A，根据圆的面积公式即可判断；对于B，将点2,1代入22(2)xy，判断与2的大小，即可得出结论；对于C，求出两圆心之间的距离，判断是否大于两圆半径之和；对于D，根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离是否等于半径，即可判断．【详解】222242(2)2xyxxy，可知圆心为(2,0)，半径2r；对于A：由圆的半径2r，得该圆的面积为2π2πr，故A错误；对于B：因为22(22)17422，所以点2,1在该圆内，故B正确；对于C：圆221xy的圆心为(0,0)，半径为1，因为两圆心距离为22(20)(00)221，且221，所以两圆相交，故C错误；对于D：圆心(2,0)到直线40xy的距离22204211dr，所以直线40xy与该圆相切，故D正确，故选：BD．10．（2021秋·广东深圳·高三深圳中学校考期中）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的有（）A．与22221(,0)xyabab共轭的双曲线是22221(,0)xyabbaB．互为共轭的双曲线渐近线不相同C．互为共轭的双曲线的离心率为12ee,，则122eeD．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上【答案】CD【分析】根据共轭双曲线的定义可判断A；分别求得互为共轭的双曲线的渐近线判断B；根据双曲线离心率定义可得2212111ee+，即22221212eeee+，即可结合基本不等式推得122ee，判断C；求得四个焦点坐标，即可判断D.【详解】对于A，根据共轭双曲线的定义可知，与22221(,0)xyabab共轭的双曲线是222210yaxbba,，A错误；对于B，22221(,0)xyabab的渐近线方程为byxa，222210yaxbba,的渐近线方程也为byxa，二者相同，B错误；对于C，由题意可得22222212ecababaaeb=,=，故22222222121222121,11eeeeeababe++=，由于1211ee,，故2222221212121222eeeeeeee+，即122ee，当且仅当122ee时等号成立，C正确；对于D，22221(,0)xyabab的焦点坐标为22(,0)ab，其共轭双曲线222210yaxbba,的焦点坐标为22(0,)ab，显然这4个焦点在以原点为圆心，22ab为半径的圆上，D正确，故选：CD11．（2023秋·广东·高三华南师大附中校考期末）已知曲线22:1Cmxny，则（）A．若4mn，则曲线C是圆，其半径为2B．若0mn，则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上C．若线C过点15(2,3),,23，则C是双曲线D．若0mn，则曲线C不表示任何图形【答案】BC【分析】对于A，曲线C可化为221xyn，表示圆，可求半径，判断A;对于B，0mn时，曲线C可化为22111xymn，11 0mn可判断表示椭圆，判断B;对于C，将点2,3，15,23，代入曲线C：221mxny，求得曲线方程，判断C;对于D，可举特例进行说明，判断D.【详解】对于