专题9.9 解析几何（2021-2023年）真题训练（解析版）

专题9.9解析几何一、单选题1．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设F为抛物线2:4Cyx的焦点，点A在C上，点(3,0)B，若AFBF，则AB（）A．2B．22C．3D．32【答案】B【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，1,0F，则2AFBF，即点A到准线=1x的距离为2，所以点A的横坐标为121，不妨设点A在x轴上方，代入得，1,2A，所以22310222AB.故选：B2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B是椭圆22:15xCy的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为（）A．52B．6C．5D．2【答案】A【分析】设点00,Pxy，由依题意可知，0,1B，220015xy，再根据两点间的距离公式得到2PB，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．【详解】设点00,Pxy，因为0,1B，220015xy，所以222222200000001251511426444PBxyyyyyy，而011y，所以当014y时，PB的最大值为52．故选：A．【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求试卷第2页，共60页最值.．3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知12,FF是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且121260,3FPFPFPF，则C的离心率为（）A．72B．132C．7D．13【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PFPF，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PFPF，由双曲线的定义可得12222PFPFPFa，所以2PFa，13PFa；因为1260FPF,由余弦定理可得2224923cos60caaaa，整理可得2247ca，所以22274ace，即72e.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,ac间的等量关系是求解的关键.4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点3,0到双曲线221169xy的一条渐近线的距离为（）A．95B．85C．65D．45【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169xy，即340xy，结合对称性，不妨考虑点3,0到直线340xy的距离：9095916d.故选：A.5．（2021年全国新高考II卷数学试题）抛物线22(0)ypxp的焦点到直线1yx的距离为2，则p（）A．1B．2C．22D．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p，其到直线10xy的距离：012211pd，解得：2p(6p舍去).故选：B.6．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为13，12,AA分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若121BABA，则C的方程为（）A．2211816xyB．22198xy+=C．22132xyD．2212xy【答案】B【分析】根据离心率及12=1BABA，解得关于22,ab的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113cbeaa，解得2289ba，2289ba，12,AA分别为C的左右顶点，则12,0,,0AaAa，B为上顶点，所以(0,)Bb.所以12(,),(,)BAabBAab，因为121BABA所以221ab，将2289ba代入，解得229,8ab，故椭圆的方程为22198xy+=.故选：B.7．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆2222122:1(1),:14xxCyaCya的离心率分别为12,ee．若213ee，则a（）A．233B．2C．3D．6【答案】A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由213ee，得22213ee，因此2241134aa，而1a，所以233a.故选：A8．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设12,FF为椭圆22:15xCy的两个焦点，点P在C上，若120PFPF，则12PFPF（）A．1B．2C．4D．5试卷第4页，共60页【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12PFF△的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为120PFPF，所以1290FPF，从而122121tan4512FPFSbPFPF，所以122PFPF．故选：B.方法二：因为120PFPF，所以1290FPF，由椭圆方程可知，25142cc，所以22221212416PFPFFF，又12225PFPFa，平方得：22121212216220PFPFPFPFPFPF，所以122PFPF．故选：B.9．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆22:13xCy的左、右焦点分别为1F，2F，直线yxm与C交于A，B两点，若1FAB△面积是2FAB△面积的2倍，则m（）．A．23B．23C．23D．23【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用0，求出m范围，再根据三角形面积比得到关于m的方程，解出即可.【详解】将直线yxm与椭圆联立2213yxmxy，消去y可得2246330xmxm，因为直线与椭圆相交于,AB点，则223604433mm，解得22m，设1F到AB的距离12,dF到AB距离2d，易知122,0,2,0FF，则1|2|2md，2|2|2md，12|2||2|22|2||2|2FABFABmSmSmm，解得23m或32（舍去），故选：C.10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为5，其中一条渐近线与圆22(2)(3)1xy交于A，B两点，则||AB（）A．15B．55C．255D．455【答案】D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由5e，则222222215cabbaaa，解得2ba，所以双曲线的一条渐近线不妨取2yx，则圆心(2,3)到渐近线的距离2|223|5521d，所以弦长22145||22155ABrd.故选：D11．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知1F，2F是椭圆C：22194xy的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（）A．13B．12C．9D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MFMFa，借助基本不等式212122MFMFMFMF即可得到答案．【详解】由题，229,4ab，则1226MFMFa，所以2121292MFMFMFMF（当且仅当123MFMF时，等号成立）．故选：C．试卷第6页，共60页【点睛】12．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设B是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C上的任意一点P都满足||2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A．2,12B．1,12C．20,2D．10,2【答案】C【分析】设00,Pxy，由0,Bb，根据两点间的距离公式表示出PB，分类讨论求出PB的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设00,Pxy，由0,Bb，因为2200221xyab，222abc，所以2223422222220000022221ycbbPBxybaybyabbbcc，因为0byb，当32bbc，即22bc时，22max4PBb，即max2PBb，符合题意，由22bc可得222ac，即202e；当32bbc，即22bc时，42222maxbPBabc，即422224babbc，化简得，2220cb，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出PB的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．13．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点0,2与圆22410xyx相切的两条直线的夹角为，则sin（）A．1B．154C．104D．64【答案】B【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得2810kk，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为22410xyx，即2225xy，可得圆心2,0C，半径5r，过点0,2P作圆C的切线，切点为,AB，因为222222PC，则223PAPCr，可得51036sin,cos442222APCAPC，则10615sinsin22sincos2444APBAPCAPCAPC，22226101coscos2cossin0444APBAPCAPCAPC，即APB为钝角，所以15sinsinπsin4APBAPB；法二：圆22410xyx的圆心2,0C，半径5r，过点0,2P作圆C的切线，切点为,AB，连接AB，可得222222PC，则223PAPBPCr，因为22222cos2cosPAPBPAPBAPBCACBCACBACB且πACBAPB，则336cos5510cosπAPBAPB，即3cos55cosAPBAPB，解得1cos04APB，即APB为钝角，则1coscosπcos4APBAPB，且为锐角，所以215sin1cos4；方法三：圆22410xyx的圆心2,0C，半径5r，若切线斜率不存在，则切线方程为0y，则圆心到切点的距离2dr，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2ykx，即20kxy，则22251kk，整理得2810kk，且644600设两切线斜率分别为12,kk，则12128,1kkkk，可得21212124215kkkkkk，所以1212tan151kkkk，即sin15cos，可得sincos15，则2222sinsincossin115，试卷第8页，共60页且π0,2，则sin0，解得15sin4.故选：B.14．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线,APAQ的斜率