高三数学开学摸底考试卷（测试范围：新高考数学全部内容）（解析版）

学科网（北京）股份有限公司1高三数学开学摸底考试卷考试时间：120分钟满分：150分测试范围：新高考数学全部内容一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知i为虚数单位，则z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可．【解答】解：z＝＝＝，故z在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题．2．（5分）设集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}，则（）A．M⫋NB．M⫌NC．M＝ND．以上都不正确【分析】对集合N进行变形，可以看到集合M中的元素是2与整数的乘积的集合，集合N的元素是2与奇数的乘积的集合，再判断即可．【解答】解：集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，故集合M中的元素是2与整数的乘积的集合，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}＝{x|x＝2（2n±1），n∈Z}，故集合N的元素是2与奇数的乘积的集合，故N⫋M，故选：B．【点评】本题考查集合与集合，集合与元素的关系，基础题．3．（5分）A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻，E不站两端的不同站法的种数为（）A．48B．96C．144D．288【分析】使用捆绑法，然后恰当分类，结合间接法能求出结果．【解答】解：第一步，先排A，B，共有＝2种排法，将排好的A、B作为一个整体，记为G；学科网（北京）股份有限公司2第二步，（1）先将C，D，G，F排成一排，再在产生的3个空位中选择一个排E，共有3＝72种排法，（2）先将C，D捆绑在一起，记为H，然后将H，G排成一排，最后在2个空位中选一个排共，共有＝24种排法，（3）将C，D，G，F，E排成一排，且C，D不相邻，E不站两端的排法有72﹣24＝48种，综上，满足条件的不同排法共有2×48＝96种．故选：B．【点评】本题考查排列数的计算，考查捆绑法，恰当分类、间接法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）已知偶函数f（x）＝ax2+bx+1的定义域[a﹣1，2]，则函数f（x）的值域为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．[﹣3，1]D．[1，+∞）【分析】根据函数的奇偶性的定义和性质，建立方程求出a，b的值，结合一元二次函数值域的性质进行求解即可．【解答】解：∵偶函数f（x）＝ax2+bx+1的定义域[a﹣1，2]，∴a﹣1+2＝0，得a＝﹣1，即函数的定义域为[﹣2，2]，此时函数f（x）＝﹣x2+bx+1，则对称轴为y轴，则﹣＝0，得b＝0，则f（x）＝﹣x2+1，∵﹣2≤x≤2，∴﹣3≤f（x）≤1，即函数的值域为[﹣3，1]，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，结合二次函数的性质是解决本题的关键．5．（5分）设椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，|PF1|＝λ|PF2|（≤λ≤3），则椭圆的离心率的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由，，在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2学科网（北京）股份有限公司3﹣2|PF1|•|PF2|cos60°，即（2c）2＝（）2+（）2﹣2×××，求解即可求椭圆的离心率的最小值．【解答】解：由，∴，在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos60°即（2c）2＝（）2+（）2﹣2×××，上式两边同除以（2a）2，得e2＝（）2+（）2﹣＝＝1﹣＝1﹣≥1﹣＝，∴e≥，等号当且仅当λ＝1时成立，故椭圆的离心率的最小值为．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法，解题时要注意余弦定理的合理运用，属中档题．6．（5分）已知f（x）＝sinx，g（x）＝ln|x|+（ex）2，则f（x）•g（x）＞0的解集是（）A．{x|﹣＜x＜0或＜x＜π或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0}B．{x|﹣π＜x＜﹣或＜x＜π或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0}C．{x|﹣＜x＜0或0＜x＜或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0}D．{x|﹣＜x＜0或＜x＜π或（2n﹣1）π＜x＜2nπ，n∈Z，且n≠0}【分析】不等式f（x）•g（x）＞0等价于或，由此能求出结果．【解答】解：∵g（x）＝ln|x|+（ex）2是偶函数，∴当x＞0时，g（x）＝lnx+（ex）2，g′（x）＝＞0在x＞0恒成立，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（）＝0，∴当x∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）时，g（x）＞0，当x∈（﹣，0）∪（0，）时，g（x）＜0，学科网（北京）股份有限公司4当x∈（2nπ，2nπ+π），n∈Z时，f（x）＞0，当x∈（2nπ+π，2nπ+2π），n∈Z时，f（x）＜0，∵不等式f（x）•g（x）＞0等价于或，∴不等式f（x）•g（x）＞0的解集为：{x|﹣＜x＜0或＜x＜π或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0}．故选：A．【点评】本题考查不等式的解集的求法，考查函数的单调性、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．（5分）已知cosα＝，则sin＝（）A．B．﹣C．D．【分析】由已知可求范围∈（，π），则sin＞0，进而根据二倍角公式即可计算得解sin的值．【解答】解：∵cosα＝，∴∈（，π），则sin＞0，∵cosα＝＝1﹣2sin2，可得sin2＝，∴sin＝．故选：A．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．（5分）设Sn是等比数列{an}的前n项和．若＝2，S4＝4，则S8等于（）A．12B．24C．16D．32【分析】本题先设等比数列{an}的公比为q，然后根据等比数列的定义及已知条件可计算出q4＝2，再根据等比数列的求和公式写出S4及S8的表达式，进一步计算即可得到S8的结果．【解答】解：由题意，设等比数列{an}的公比为q，则学科网（北京）股份有限公司5＝q4＝2，S4＝＝﹣＝4，∴＝﹣4，S8＝＝＝•（1﹣4）＝（﹣4）×（﹣3）＝12．故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的基本计算．考查了方程思想，定义法，整体思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属基础题．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）已知菱形纸片ABCD的边长为2，且∠ABC＝60°，将△ABC绕AC旋转180°，旋转过程中记点B位置为点P，则（）A．直线AC与点P的轨迹所在平面始终垂直B．PB+PD的最大值为C．二面角A﹣PD﹣C的大小与点P的位置无关D．旋转形成的几何体的体积为π【分析】由题知，点P的轨迹所在平面为平面BDP，再结合题意依次分析各选项即可得答案．【解答】解：如图，点P的轨迹为以菱形对角线的交点为圆心的半圆弧，即点P的轨迹所在平面为平面BDP，由于在菱形ABCD中，AC⊥BD，所以在旋转过程中，AC⊥OP，因为OP∩BD＝O，OP，BD⊂平面BDP，所以AC⊥平面BDP，故A正确；对于B选项，因为PD2+PB2＝BD2＝12，所以由不等式，得，当且仅当PD＝PB时等号成立，故B正确；对于C，取PD中点E，连接AE，CE，OE，由AP＝AD＝PC＝PD得PD⊥AE，PD⊥CE，所以，∠AEC是二面角A﹣PD﹣C的平面角，学科网（北京）股份有限公司6所以，由对称性可知∠AEC＝2∠AEO，，因为OE的长度随着P的位置的变化而变化，所以，∠AEO随着P的位置的变化而变化，即∠AEC的大小与点P的位置有关，故C错误；对于D选项，由题知旋转形成的几何体为两个半圆锥，底面半径为，高为1，故其体积为，故D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查旋转体的结构特征，二面角的求法，组合体的体积，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．（多选）10．（5分）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点．已知平行于x轴的光线l1从点M射入，经过抛物线C：y2＝8x上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线l2射出，经过点N，则（）A．若l1的方程为y＝2，则|PQ|＝8B．若l1的方程为y＝2，且∠PQM＝∠MQN，则M（13，2）C．分别延长PO，NQ交于点D，则点D在C的准线上D．抛物线C在点P处的切线分别与直线FP，l1所成角相等学科网（北京）股份有限公司7【分析】分别求出P、Q的坐标，利用焦点弦公式|PQ|＝x1+x2+p求出弦长可得选项A错；求解角的平分线方程求解M的坐标，可得选项B正误；通过求解D的坐标，即可判断C正确；求出抛物线在P处的切线方程及其斜率，再求出切线与直线l1及直线FP所成角的正切值，可得选项D正确．【解答】解：由题意可得P（，2），又F（2，0），∴直线PF的斜率k＝＝−，∴直线PF的方程为：y＝−（x−2），联立，得2x2﹣17x+8＝0，∴x1＝，x2＝8，∴Q（8，﹣8），∴|PQ|＝x1+x2+4＝，∴A选项错误；直线PF的斜率k＝＝−，设MQ的斜率为k，k＞0，可得，可得2k2﹣3k﹣2＝0，可得k＝2，又直线MQ的斜率kMQ＝2，∴直线MQ的方程为：y+8＝2（x﹣8），即2x﹣y﹣24＝0，，则M（13，2），∴B选项正确；设P（，b），PO的方程为：y＝，PF的方程为：y＝，与y2＝8x联立，可得by2﹣（b2﹣16）y﹣16b＝0，可得yQ＝﹣，，可得D（﹣2，），分别延长PO，NQ交于点D，则点D在C的准线上，所以C选项正确；设抛物线在P处的切线方程为：y−2＝k（x−）（k≠0），学科网（北京）股份有限公司8联立，得ky2﹣8y+16﹣4k＝0，由Δ＝64﹣4k（16﹣4k）＝0，解得k＝2．∴抛物线在P处的切线方程为：y＝2x+1，∴该切线与直线l1所成角的正切值为2．设该切线与直线FP所成角为θ，则tanθ＝||＝||＝2，∴该切线与直线l1所成角的正切值与该切线与直线FP所成角的正切值相同，即抛物线C在点P处的切线分别与直线l1、FP所成角相等，∴D选项正确．故选：BCD．【点评】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，属中档题．（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝xcosx﹣sinx，下列结论中正确的是（）A．函数f（x）在x＝时取得极小值﹣1B．∀x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立C．若0＜x1＜x2＜π，则＜D．若a＜＜b，∀x∈（0，）恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1【分析】利用可导函数极值点处的导数为零判断A，通过f′（x）的符号确定f（x）在[0，π]上的单调性，判断B，再构造函数g（x）＝，研究其单调性判断C，D选项．【解答】解：f′（x）＝﹣xsinx，对于A，＝﹣≠0，A错；对于B，当x∈[0，π]时，f′（x）≤0恒成立，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（0）＝0，B对；对于CD，令g（x）＝，则g′（x）＝，由B知，g′（x）＜0在（0，π）上恒成立，所以g（x）在（0，π）上是减函数，学科网（北京）股份有限公司9所以由0＜x1＜x2＜π，则，结合sinx1＞0，sinx2＞0得＜，C对；显然g（x）在（0，）上单调递减，所以＝在（0，）上恒成立，再令h（x）＝x﹣sinx，0，h′（x）＝1﹣cosx≥0在（0，）上恒成立，h（x）是增函数，所以h（x）＝x﹣sinx＞0，即＜1在（0，）上恒成立，综上＜1在（0，）上恒成立，D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了导数的综合应用，侧重考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值等，属于难题．（多选）12．（5分）某社团开展“建党100周年主题活动﹣﹣学党史知识竞赛“，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是（）A．两人均获得满分的概率为B．两