题型05 4类比较函数值大小关系解题技巧（构造函数、两类经典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放缩合集

【淘宝店铺：向阳百分百】题型054类比较函数值大小关系解题技巧（构造函数、两类经典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放缩合集）技法01构造函数比较函数值大小关系解题技巧例1．（2022·全国·统考高考真题）设0.110.1e,ln0.99abc，，则（）A．abcB．cbaC．cabD．acb【法一】分析法假设待证法比较大小→构造函数假设ba成立，即01.09.0ln1e9.091e1.01.01.0令9.0x，则等价证明：0)1(lnxx，即证：1lnxx（原式得证，略）假设ca成立，即09.0lne1.09.0lne1.01.01.0技法01构造函数比较函数值大小关系解题技巧技法02两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧技法03泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用分析法找打构造函数的本体是解决此类问题的突破口，需重点掌握.【淘宝店铺：向阳百分百】令1.0x，则等价证明：0)1ln(exxx，)1,0(x证明略所以函数()eln(1)xgxxx在)12,0(x单调递增，所以)0()1.0(gg，即：09.0lne1.01.0，所以假设ca不成立，即ca，综上所述：bac，故选：C【法二】构造法设()ln(1)(1)fxxxx，因为1()111xfxxx，当(1,0)x时，()0fx，当,()0x时()0fx，所以函数()ln(1)fxxx在(0,)单调递减，在(1,0)上单调递增，所以1()(0)09ff，所以101ln099，故110lnln0.999，即bc，所以1()(0)010ff，所以91ln+01010，故1109e10，所以11011e109，故ab，设()eln(1)(01)xgxxxx，则21e11()+1e11xxxgxxxx,令2()e(1)+1xhxx，2()e(21)xhxxx，当021x时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx单调递减，当211x时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx单调递增，又(0)0h，所以当021x时，()0hx，所以当021x时，()0gx，函数()eln(1)xgxxx单调递增，所以(0.1)(0)0gg，即0.10.1eln0.9，所以ac故选：C.【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023·河北·统考模拟预测）设ln102ln100a，151b，tan0.02c，则（）A．acbB．bcaC．cbaD．cab【答案】D【分析】依题意1ln150a，151b，1tan50c，令tanln1fxxx，0,1x利用导数说明函数的单调性，即可判断a、c，再令ln1hxxx，0,1x，利用导数说明函数的单调性，即可判断a、b，即可得解.【详解】因为102511ln102ln100lnlnln11005050a，151b，1tan0.02tan50c，令tanln1fxxx，0,1x，则222222cossin1111coscos1cos11cosxxxxfxxxxxxx，令21cosmxxx，则12cossin1sin20mxxxx，所以mx在0,1上单调递增，00mxm，所以()0fx¢，所以fx在0,1上单调递增，所以00fxf，则0.02tan0.02ln10.020f，即1tan0.02ln150，即ca，令ln1hxxx，0,1x，则1110xhxxx，所以hx在0,1上单调递减，则10hxh，则505050ln10515151h，即50501ln1515151，即511ln5051，所以ab，综上可得cab.故选：D【点睛】关键点睛：本题解答的关键是根据式子的特征构造函数tanln1fxxx，0,1x，ln1hxxx，0,1x，利用导数说明函数的单调性，结合临界点的函数值，从而判断函数值的正负，达到比较大小的目的.2．（2023·福建福州·模拟预测）1,ln1.1,tan0.111abc，则（）A．cabB．acbC．bacD．abc【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】D【分析】令ln11xfxxx，利用导数研究函数的单调性可得到0.100ff，即可判断a、b的大小关系；构造函数ln1hxxx判断ln1.1b与0.1的大小，构造函数tanmxxx判断0.1与tan0.1c大小，从而可判断b、c大小．【详解】令ln11xfxxx，1,x，则2211111xfxxxx，所以当0x时()0fx¢，即fx在0,上单调递增，所以0.100ff，即0.1ln0.1100.11，即1ln1.111，即ba，令ln1hxxx，则1111xhxxx，在π0,2x时，0hx，则hx为减函数，∴00hxh，即ln1xx；令tanmxxx，π0,2x，则2110cosmxx，故mx在π0,2x为减函数，∴00mxm，即tanxx；∴πln1tan,0,2xxxx，令0.1x，则ln0.110.1tan0.1，即0.1bc，∴bc，所以abc．故选：D．【点睛】结论点睛：常用的不等式：πsintan02xxxx，ln10xxx，2ln10xxxxx，e1xx，ee0xxxx，2e0xxx.3．（2023·福建·二模）设1142112e1,e1,sintan44abc，则（）A．bacB．bcaC．abcD．acb【答案】A【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】作差法判断a、b的大小，构造函数()2e1sintanxfxxx,利用导数的单调性判断a、c的大小.【详解】21111124242e12e1e2e1e10,baba，又14112e1sintan44ac，所以令()2e1sintanxfxxx，π0,6x，则21()2ecoscosxfxxx，令21()2ecoscosxgxxx，则32sin()2esincosxxgxxx，当π0,6x时,2e2,sin0xx,33ππsinsin,coscos66xx，所以33π2sin2sin862πcos33cos6xx，故()0gx,故()gx在π0,6上是增函数，又∵(0)0g，∴当π0,6x时,()()0fxgx,故()fx在π0,6上是增函数，故1()(0)04ff,即ac，故bac.故选:A.【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量x就有了函数的形式，如在本题中14112e1sintan44ac，将14视为变量可以构造函数()2e1sintanxfxxx.技法02两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧【淘宝店铺：向阳百分百】知识迁移1exx，xxee，1ln11xxx，elnxx例2．已知991001101,,ln100100abec,则,,abc的大小关系为()A.abcB.acbC.cabD.bac991009911100100e1011011ln1100100100c【答案】C1．（2023上·河北保定·高三校联考开学考试）已知ln1ea，eb，2e3c，则（）A．bacB．acbC．bcaD．cba【答案】D【分析】构造函数()ln(1),0fxxxx，利用导函数讨论其单调性和最值，可得ln(1)xx，从而可得1ln(1e)1e，11e211eee，即可比较,ab的大小关系，再利用作差法比较,bc大小关系.本题型在高考中以小题形式考查，是高频考题；本题型可以用方法技巧作答，能用两类超越不等式是解决此类问题的突破口，需重点掌握.【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】令()ln(1),0fxxxx，则1()1011xfxxx，所以函数()fx在0,单调递减，且(0)0f，所以()0fx，即ln(1)xx，令1ex，则有11ln(1)ee，所以11ln(1)lne1ee，即1ln(1e)1e，又由11ln(1)ee，可得11e211eee，所以ln1ee，即ab，又因为2224e4ee=e(1)099cb，所以bc，综上可得cba，故选：D.2．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知13a，13e1b，4ln3c，则（）A．abcB．acbC．cabD．bca【答案】C【分析】构造e101xfxxx，利用导数判断其单调性可比较,ab的大小关系.构造ln101gxxxx，利用导数判断其单调性可比较,ac的大小关系.【详解】13a，13e1b，41lnln133c，设e101xfxxx，所以e10xfx，所以fx在0,1上单调递增，所以00fxf，即e101xxx.所以131e13，即ab.设ln101gxxxx，则11011xgxxx，所以gx在0,1上单调递减，所以00gxg，即ln101xxx.【淘宝店铺：向阳百分百】所以11ln133，即ca.所以cab.故选:C.3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知3ln2a，23b，12ec，则（）A．abcB．bcaC．cabD．acb【答案】D【分析】构造函数ln11fxxxx，e10xxgxx，利用导数分析这两个函数的单调性，可得出a、12的大小，12e、23的大小，利用不等式的基本性质可得出12e、12的大小关系，由此可得出a、b、c三个数的大小关系.【详解】令ln1fxxx，其中1x，则1110xfxxx，所以，函数fx在1,上为增函数，故当1x时，10fxf，则ln1xx，所以331ln1222a，因为0e2，则1211e2ec，当0x时，证明e1xx，令e1xgxx，其中0x，则e10xgx，所以函数gx在0,上为增函数，故当0x时，00gxg