题型11 4类三角函数选填解题技巧（图象与性质、异名伸缩平移、最值与值域、ω的取值范围）（解析版）

题型114类三角函数选填解题技巧（三角函数图象与性质、异名伸缩平移、最值与值域、ω的取值范围）技法01三角函数图象与性质的解题技巧例1-1．（2021·全国·统考高考真题）下列区间中，函数7sin6fxx单调递增的区间是（）A．0,2B．,2ππC．3,2D．3,22由22262kxkkZ，解得22233kxkkZ，取0k，可得函数fx的一个单调递增区间为2,33，故选：A.技法01三角函数图象与性质的解题技巧技法02三角函数异名伸缩平移的解题技巧技法03三角函数最值与值域的解题技巧在高考中经常考查三角函数的图象与性质，解题的关键在于利用整体思想快速求解，有时也可以用到函数图象的特有位置求解，例如检验三角函数的对称中心处函数值是否为0，对称轴处是否取得最值等都是解题突破口.例1-2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）（多选）已知函数2()cos3sincosfxxxx，则（）A．fx的最小值为12B．fx的图象关于点π,012对称C．直线π3x是fx图象的一条对称轴D．fx在区间ππ,63上单调递减由题意得21cos23()cos3sincossin222xfxxxxxπ1cos(2)32x，故fx的最小值为11122-+=-，A正确；将π12x代入π1cos(2)32xfx中，得ππ11cos()6322π12f，即fx的图象关于点π1,122对称，B错误；将π3x代入π1cos(2)32xfx中，得2ππ11cos()3322π3f，即此时π1cos(2)32xfx取到最小值，即直线π3x是fx图象的一条对称轴，C正确；当ππ,63x时，π20,π3x，由于cosyx在0,π上单调递减，故fx在区间ππ,63上单调递减，D正确，故选：ACD1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）（多选）已知函数π2cos26fxx，则下列描述正确的是（）A．函数fx的最小正周期为πB．π6x是函数fx图象的一个对称轴C．π,03是函数fx图象的一个对称中心D．若函数fx的图象向左平移π6个单位长度可得函数gx的图象，则gx为奇函数【答案】ACD【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可.【详解】函数π2cos26fxx的最小正周期2ππ2T，故A正确；ππππ2cos22cos06662f，所以fx关于π,06对称，故B错误；π2πππ2cos2cos03362f，所以π,03是函数fx图象的一个对称中心，故C正确；将函数fx的图象向左平移π6个单位长度得到πππ2cos22cos22sin2662gxxxx，则2sin22sin2gxxxgx，所以gx为奇函数，故D正确；故选：ACD2．（2023·全国·模拟预测）（多选）将函数3sincos06fxxx的图象向左平移π6个单位长度得到函数gx的图象，且π26g，则下列结论中正确的是（）A．gx为奇函数B．当π,π2x时，fx的值域是2,1C．gx的图象关于点π,06对称D．gx在π0,6上单调递增【答案】BD【分析】根据三角函数的平移变换求出gx的表达式，然后依次判断各个选项即可.【详解】因为π3sincos2sin6fxxxx，所以ππ2sin66gxx．由πππ2sin2636g，得πππ2π362k，Zk，则26,Zkk，又06，所以2，所以ππ2sin2,2sin266fxxgxx．对于A：π2sin26gxxgx，所以gx不是奇函数，A错误；对于B：当π,π2x时，π5π11π2,666x，则π2sin22,16fxx，B正确；对于C：因为ππππ2sin22sin106666g，所以gx的图象不关于点π,06对称，C错误；对于D：当π06x时，πππ2662x，根据正弦函数的图象与性质可知，gx在π0,6上单调递增，D正确．故选：BD3．（2023·广东汕头·校考一模）（多选）已知函数πsin0,2fxx的最小正周期是π，把它图象向右平移π3个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（）A．函数fx的图象关于直线5π12x对称B．函数fx的图象关于点π,012对称C．函数fx在区间ππ,212上单调递减D．函数fx在π3π,42上有3个零点【答案】AC【分析】根据周期及奇函数的性质求出πsin23fxx，再利用正弦函数性质逐项判断即可.【详解】因为函数πsin0,2fxx的最小正周期是π，所以2π2π，则sin2fxx，把它图象向右平移π3个单位后得到的图象所对应的函数为2πsin23yx，因为2πsin23yx为奇函数，所以2ππ3k，Zk，即2ππ3k，Zk，因为π2，所以1k，π3，所以πsin23fxx，对于A，5π5ππsin2112123f，所以函数fx的图象关于直线5π12x对称，故A正确；对于B，ππππ1sin2sin01212362f，所以函数fx的图象不关于点π,012对称，故B错误；对于C，当ππ,212x时，π4ππ3ππ2,,33222x，函数sinyx在3ππ,22上单调递减，所以函数fx在区间ππ,212上单调递减，故C正确；对于D，由πsin203fxx，得π2π3xk，即ππ,Zkxk26，令πππ3π4262k，解得1863k，又Zk，所以1k或2k，所以函数fx在π3π,42上有2个零点，分别为2π3，7π6，故D错误.故选：AC.4．（2023·山西吕梁·统考二模）（多选）若函数2sincossin1fxxxx（0）的最小正周期为π，则（）A．π08fB．fx在ππ,42上单调递减C．2fx在5π0,2内有5个零点D．fx在ππ,44上的值域为1,2【答案】BC【分析】先利用三角恒等变换公式化简函数解析式，根据其最小正周期求出ω的值，从而确定函数解析式，代值计算即可判断A；根据正弦型函数的单调性可判断B；根据正弦函数图象即可判断CD.【详解】22sincossin12sincos2sin1fxxxxxxxπsin2cos222sin224xxx．因为函数的最小正周期为π，所以2ππ12，故π2sin224fxx.对于A，πππ2sin22844f，故A错误；对于B，当ππ,42x时，π3π5ππ3π2,,44422x，此时fx单调递减，故B正确；对于C，ππ2sin222sin2044fxxx，∴πππ2π482kxkx，Zk，当5π0,2x时，满足要求的有3π8，7π8，11π8，15π8，19π8，共有5个零点，故C正确；对于D，当ππ,44x时，ππ3π2,444x，则π2sin2,142x，故3,22fx，∴D错误．故选：BC技法02三角函数异名伸缩平移的解题技巧知识迁移通常用2πcossinxx进行正弦化余弦，用2πsincosxx进行余弦化正弦例2-1．（2022·四川模拟）若要得到函数πsin26fxx的图象，只需将函数πcos23gxx的图象（）A．向左平移π6个单位长度B．向右平移π6个单位长度C．向左平移π3个单位长度D．向右平移π3个单位长度我们可以对平移前πcos23gxx进行变换，πππ5πcos2=sin2sin23326gxxxx，从而转化为5πsin26gxxπsin26fxx？的变换；我们同样也对平移后πsin26fxx进行变换，ππππsin2cos2cos26623fxxxx，从而转化为πcos23gxxπcos23fxx？的变换，进而求解变换过程【答案】D例2-2．（2022·江苏·模拟）为了得到函数πsin24yx的图象，可以将函数πcos23yx的图象（）在三角函数的伸缩平移变换中，同名三角函数的伸缩平移变换相对简单，异名三角函数的伸缩平移变换需要先转化为同名三角函数，然后在进行伸缩平移变化，是高考中的高频考点，需强化练习.A．向左平移5π24个单位B．向右平移7π24个单位C．向右平移5π24个单位D．向左平移7π24个单位【详解】πππ5πcos2sin2sin23326yxxx，设平移了个单位，得到5πsin226gxx，则5ππ264，解得：7π24，即向右平移了7π24个单位.【答案】B1．（全国·高考真题）为得到函数πcos23yx的图像，只需将函数sin2yx的图像（）A．向左平移5π12个长度单位B．向右平移5π12个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位【答案】A【分析】设出向左平移个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.【详解】πππ5πcos2sin2sin23326yxxx，将函数sin2yx向左平移个长度单位，得到sin22yx，故2π65，解得125π，即向左平移5π12个长度单位.故选：A2．（天津·高考真题）要得到函数2cosyx的图象，只需将函数2sin(2)4yx的图象上所有的点的A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8个