题型19 10类球体的外接及内切解题技巧（特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二

题型1910类球体的外接及内切解题技巧（特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定）技法01特殊几何体外接球的应用及解题技巧知识迁移球的表面积：S＝4πR2球的体积：V＝43πR3底面外接圆的半径r的求法（1）正弦定理2(sinarA通用）（2）直角三角形：半径等于斜边的一半（3）等边三角形：半径等于三分之二高（4）长（正）方形：半径等于对角线的一半几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.正棱锥类型技法01特殊几何体外接球的应用及解题技巧技法02墙角问题的应用及解题技巧技法03对棱相等问题的应用及解题技巧技法04侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧技法05侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧技法06二面角与球体综合的应用及解题技巧技法07数学文化与球体综合的应用及解题技巧技法08最值与球体综合的应用及解题技巧对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，其外接球通常可以直接求解，是高考的高频考点，常以小题形式考查，需强化训练.(𝒉−𝑹)2+𝑟2=𝑅2,解出𝑅例1-1．（2020·天津·统考高考真题）若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．12B．24C．36D．144这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即22223232332R，所以，这个球的表面积为2244336SR.例1-2．（全国·高考真题）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A．202B．252C．50D．200球的直径是长方体的体对角线，所以2222234550R，解得522R，所以球的表面积为：2450SR例1-3．（全国·高考真题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．814B．16C．9D．274正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高1PO上，记为O，PO=AO=R，14PO，1OO=4-R，在Rt△1AOO中，12AO，由勾股定理2224RR得94R，∴球的表面积814S1．（陕西·高考真题）已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为A．323B．4C．2D．43【答案】D【详解】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故222211(2)2R，即得1R，所以该球的体积224441333VR，故选D.考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.2．（全国·高考真题）设长方体的长、宽、高分别为2,,aaa，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A．3a2B．6a2C．12a2D．24a2【答案】B【详解】方体的长、宽、高分别为2,,aaa,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以球直径为：6a，所以球的半径为62a，所以球的表面积是226462aa，故选B3．（全国·高考真题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A．2aB．273aC．2113aD．25a【答案】B【详解】试题分析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图：则其外接球的半径为222722sin6012oaaRa球的表面积为22774123aSa球；故选B．4．（四川·高考真题）如图，正四棱锥PABCD底面的四个顶点,,,ABCD在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果163PABCDV-=，则求O的表面积为（）A．4B．8C．12D．16【答案】D【分析】根据正四棱锥PABCD的体积公式，列出方程，求得2R，再利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，设外接球O的半径为R，则,2OPOARABR，则正四棱锥PABCD的体积为21116(2)333VShRR，解得2R，所以球O的表面积为2244216SR．【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及锥体的体积、球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，结合锥体的体积公式和球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力。5．（全国·高考真题）已知正四棱锥O-ABCD的体积为322，底面边长为3，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为.【答案】24【详解】设正四棱锥的高为h，则13×(3)2h＝322，解得高h＝322.则底面正方形的对角线长为2×3＝6，所以OA＝22326()22＝6，S球＝4π(6)2＝24π.6．（广东·高考真题）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．【答案】27【分析】正方体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积．【详解】解：正方体的体对角线就是球的直径，设其体对角线的长为l，则22233333l，所以33d，所以332R，所以2427SR.故答案为：27．7．（辽宁·高考真题）若一个底面边长为32，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为．【答案】92【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,设正六棱柱的上下底面中心分别为12,OO,球心为O,一个顶点为A,可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA,再用球的体积公式即可得到外接球的体积.【详解】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,如右图,则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为12,OO,则球心O是12OO的中点.正六棱柱底面边长为32,侧棱长为61RtAOO中,1136,22AOOO,可得221132AOAOOO因此,该球的体积为3439322V故答案为92.【点睛】本题给出一个正六棱柱,求它的外接球的体积,着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点,属于基础题.8．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知正四棱台的高为1，下底面边长为22，侧棱与底面所成的角为45，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A．32π3B．205π3C．86πD．36π【答案】B【分析】连接AC，过1A作AC的垂线垂足为E，过1C作AC的垂线垂足为F，求得上、下底面所在圆的半径121,2rr，设球心到上下底面的距离分别为12,dd，球的半径为R，利用球的截面圆的性质，列出方程求得25R，结合球的体积公式，即可求解.【详解】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为12,rr，连接AC，过1A作AC的垂线垂足为E，过1C作AC的垂线垂足为F，因为正四棱台的高为1，下底面边长为22，侧棱与底面所成的角为45，可得11,2AECFEFAC，即121,2rr，设球心到上下底面的距离分别为12,dd，球的半径为R，可得211dR，224dR，故12||1dd或121dd，即22|14|1RR或22141RR，解得25R，符合题意，所以球的体积为34205ππ33VR．故选：B.技法02墙角问题的应用及解题技巧知识迁移墙角模型（三条直线两两垂直）墙角模型（三条直线两两垂直）可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可快速求解.补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.例2．（2023·广西模拟）已知三棱锥ABCD的四个顶点,,,ABCD都在球O的表面上，,BCCDAC平面BCD，且22,2ACBCCD，则球O的表面积为A．4B．8C．16D．22由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，22222222216R，求的外接球的表面积2416SR1．（2023·天津河西·统考二模）在三棱锥PABC中，PA平面ABC，42PA，4ABAC，90CAB，则三棱锥PABC外接球的表面积为（）A．32πB．48πC．64πD．128π【答案】C【分析】三棱锥PABC补成长方体ABDCPEFG，计算出长方体ABDCPEFG的体对角线长，即为三棱锥PABC的外接球直径长，再利用球体表面积公式可求得结果.【详解】在三棱锥PABC中，PA平面ABC，42PA，4ABAC，90CAB，将三棱锥PABC补成长方体ABDCPEFG，如下图所示，所以，三棱锥PABC的外接球直径即为长方体ABDCPEFG的体对角线长，设三棱锥PABC的外接球直径为2R，则22228RABACAP，则4R，因此，三棱锥PABC外接球的表面积为24π64πSR.故选：C.2．（2023上·浙江·高二校联考期中）在三棱锥PABC中，PA、AB、AC两两垂直，3AP，4BC，则三棱锥外接球的表面积为（）A．12πB．20πC．25πD．36π【答案】C【分析】首先三棱锥补成长方体，利用长方体的外接球的半径公式，即可求解.【详解】如图，将三棱锥补成长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，所以22222222345RABACAPAPBC，则三棱锥外接球的表面积24π25πSR.故选：C3．（2023·全国阶段练习）三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是22、32、62，则该三棱锥的外接球的体积是（）A．2π3B．82π3C．6πD．86π【答案】C【分析】三棱锥PABC﹣的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积.【详解】三棱锥PABC﹣的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PAa，PBb，PCc，则1222ab，1322bc，1622ca，解得，2a，1b，3c.则长方体的对角线的长为6.所以球的直径是6，半径长62R，则球的表面积34π6π3SR，故选：C.技法03对棱相等问题的应用及解题技巧知识迁移推导过程:通过对棱相等,可以将其补全为长方体,补全的长方体体对角线为外接球直径,设长方体的长宽高为别为𝑎,𝑏,𝑐𝐴𝐷=𝐵𝐶𝐴𝐵=𝐶𝐷𝐴𝐶=𝐵𝐷}⇒{𝑎2+𝑏2=𝐵𝐶2=𝜆2𝑏2+𝑐2=𝐴𝐶2=𝜇2𝑐2+𝑎2=𝐴𝐵2=𝑘2⇒𝑎2+𝑏2+𝑐2=𝜆2+𝜇2+𝑘22⇒𝑅=√𝜆2+𝜇2+𝑘28𝑉𝐴−𝐵𝐶𝐷=𝑎𝑏𝑐−16𝑎𝑏𝑐×4=13𝑎𝑏𝑐或者2222abcR例3．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，25ABCD，29ACBD，41ADBC，则四面体ABCD外接球的体积为（）A．45πB．155π2C．455π2D．245π四面体ABCD在一个长宽高为,,abc的长方体中，如图，，则22222220,29,41,abbcac故2224522abcR，对棱相等可直接补形为长方体，进而转化为长方体的外接球，可快速求解.1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）在三棱锥PABC中，4PABC==，5PBAC，11PCAB，则三棱锥PABC的外接球的表面积为