专题03 数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练)（原卷版）

专题03数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍......................................................1二、典型题型......................................................2题型一：构造法.................................................2题型二：倒数法.................................................3三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练...........................5一、必备秘籍1.构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列形如pkaann1（pk,为常数，0kp）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为)(1makmann（其中：1kpm），由此构造出新的等比数列man，先求出man的通项，从而求出数列na的通项公式.标准模型：pkaann1（pk,为常数，0kp）或1nnakap（pk,为常数，0kp）类型2：用“同除法”构造等差数列（1）形如)(*11Nnqpqaannn，可通过两边同除1nq，将它转化为pqaqannnn11，从而构造数列nnqa为等差数列，先求出nnqa的通项，便可求得na的通项公式.（2）形如1*1()nnnakaqnN，可通过两边同除1nq，将它转化为111nnnnaakqqq，换元令：nnnabq，则原式化为：11nnkbbq，先利用构造法类型1求出nb，再求出na的通项公式.（3）形如)0(11kakaaannnn的数列，可通过两边同除以nnaa1，变形为kaann111的形式，从而构造出新的等差数列na1，先求出na1的通项，便可求得na的通项公式.2.倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1：形如qpaqaannn1（qp,为常数，0pq）的数列，通过两边取“倒”，变形为qpaann111，即：qpaann111，从而构造出新的等差数列na1，先求出na1的通项，即可求得na.类型2：形如1nnnkaapaq（qp,为常数，0p，0q，0k）的数列，通过两边取“倒”，变形为111nnqpakak，可通过换元：1nnba，化简为：1nnqpbbkk（此类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如pkaann1（pk,为常数，0kp）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为)(1makmann（其中：1kpm），由此构造出新的等比数列man，先求出man的通项，从而求出数列na的通项公式.）二、典型题型题型一：构造法例题1．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知正项数列na中，112,235nnnaaa，则数列na的通项na（）A．132nB．132nC．1532nnD．1532nn例题2．（多选）（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知数列na的前n项和为nS，且满足22nnnSa，*nN，则（）A．12aB．26aC．数列2nna为等差数列D．1na为等比数列例题3．（2023春·山东淄博·高二校考期中）已知na数列满足12a，1122nnnaa，则数列na的通项公式为例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列na满足1111,2nnnnaaaaa，则数列1nnaa的前n项和为．例题5．（2023·全国·高三专题练习）在数列na中，11a，且1211nnaan，求na.例题6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设数列na的前n项和为nS，*226nnSannN．(1)求证数列2na为等比数列，并求数列na的通项公式na．例题7．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）记数列na的前n项和为nS，且*23nnSannN.(1)求证：数列1na是等比数列；例题8．（2023春·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考期中）已知正项数列na满足11a，且11nnnnaaaa．(1)求数列na的通项公式；题型二：倒数法例题1．（多选）（2023春·云南玉溪·高二统考期末）已知数列na满足*111,N13nnnaaana，则（）A．1na为等比数列B．na的通项公式为132nanC．na为单调递减数列D．1na的前n项和232nnnT例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足12a，1214nnnaaa，则na．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式1341nnnaaa，且首项15a，求数列na的通项公式．例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知185nnnaaa，11a，求na的通项公式．例题5．（2023春·辽宁锦州·高二校考期中）已知数列na的首项145a，1431nnnaaa，*nN.(1)设11nnba，求数列nb的通项公式；例题6．（2023·全国·高三专题练习）若10a，11a，121,2,1nnnaana.(1)求证：1nnaa；例题7．（2023·全国·高二专题练习）已知数列na的首项125a，且满足1221nnnaaa.(1)求证：数列12na为等比数列：三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练一、单选题1．（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列na满足1121,1nnaaa，则na的通项公式（）A．12nnaB．121nnaC．2nnaD．21nna二、填空题2．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列na满足132nnaa，3222aa，则满足160na的最小正整数n．3．（2023·全国·高三对口高考）数列na中，113nnnaaa，12a，则4a．4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列na中，11a，132(2)nnaan，则此数列的通项公式na.5．（2023·全国·高二专题练习）数列{an}满足11535nnnaa，16a，则数列{an}的通项公式为.6．（2023·全国·高二专题练习）设nS为数列na的前n项和，已知112a，112nnnnnaa，则na三、解答题7．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列na满足：1112,2,21nnnaaana求通项na.8．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知：11a，2n时，11212nnaan，求na的通项公式．9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足112a，11nnnaaa，*nN.若1，求数列na的通项公式.10．（2023·全国·高二专题练习）已知数列{}na中，1*113,323,nnnaaanN，求数列{}na的通项公式；．11．（2023秋·江苏·高二专题练习）设nS是数列na的前n项和，且11a，110nnnnaSSS．(1)求nS；12．（2023·浙江·模拟预测）已知数列na的前n项和为111,1,22nnnnSaaa(1)试求数列na的通项公式；13．（2023春·海南儋州·高二校考阶段练习）已知数列na的首项，135a，1321nnnaaa.(1)求数列na的通项公式；14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na，1121nnnaaa，13a．(1)求证：数列11na是等差数列．15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足135a，*1321nnnaanNa.求数列na的通项公式；16．（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列na中，213a，112nnnnaaaa.（1）求数列na的通项公式；四、双空题17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足1231nnnapapR，若1p，14a，则4a；若2p，15a，则na.