专题06 数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)（原卷版）

专题06数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍......................................................1二、典型题型......................................................2题型一：等差型.................................................2题型二：无理型.................................................3题型三：指数型.................................................5题型四：通项裂项为“”型......................................6三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练.........................7一、必备秘籍常见的裂项技巧类型一：等差型①)11(1)(1knnkknn特别注意nnnnknnnnk111)1(1,1;111)1(1,1②1111()(1)(1)211knknknkn如：)121121(211412nnn（尤其要注意不能丢前边的21）类型二：无理型①)(11nknknkn如：111nnnn类型三：指数型①11(1)11()()nnnnnaaakakakak如：11211(2)(2)22nnnnnkkkk类型四：通项裂项为“”型如：①21111111nnnnnnn②131222(1)(11)1nnnnnnnnnn本类模型典型标志在通项中含有(1)n乘以一个分式.二、典型题型题型一：等差型例题1．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列na的前n项和为*24,3,16,nSaSnN(1)求数列na的通项公式；(2)设11nnnbaa，求数列nb的前n项和nT.例题2．（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）在①12121nnanan，213a，②21nnS这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．(1)已知数列na的前n项和为nS，______，求na的通项公式；(2)数列nb满足1nnnbaa，求数列nb的前n项和nT．例题3．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知数列na满足10a，212log,21,N2,2,Nnnnaankkankk.(1)判断数列21na是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列na的前10项和为361，记221221lognnnbaa，数列nb的前n项和为nT，求证：12nT.例题4．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列na的前n项和为nS，已知585S，且617aa．(1)求na和nS；(2)设15nnnbaa，求数列nb的前n项和nT．题型二：无理型例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等差数列na的前n项和为nS，11a，且2a，5a，14a成等比数列.(1)求数列na的通项公式；(2)当数列na的公差不为0时，记数列21211nnSS的前n项和为nT，求证：12nT.例题2．（2023秋·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）在等比数列na中，12a，且134,1,aaa成等差数列．(1)求数列na的通项公式；(2)记*12,11nnnnbnaaN，数列nb的前n项和为nT，求不等式10nT的解集．例题3．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设各项均不为零的数列na的前n项和为1,1nSa，且对于任意*nN，满足12nnnSaa.(1)求数列na的通项公式；(2)设11nnnbaa，求数列nb的前99项和.例题4．（2023·重庆·统考三模）已知等差数列na的前n项和为nS，4720aa，9227Sa．(1)求na的通项公式；(2)设22nnnbaa，数列nb的前n项和为nT，证明：当3n时，12nnTa．题型三：指数型例题1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列na为等差数列，且2410aa，416S．(1)求na的通项公式；(2)数列nb满足1113nnnnnbnaaN，数列nb的前n项和为nS，求证：112nS．例题2．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知数列na的前n项和为1,222nnnnSSa.(1)求数列na的通项公式；(2)设2121nnnnnnbanan，数列nb的前n项和为nT，证明：213nT.例题3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列na满足1*112,2nnnaaanN.(1)求数列na的通项公式；(2)设222lognnban，数列2112nnnnbbb的前n项和为nS，求证：3182nS„.例题4．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知数列na满足1212nnaaaa（2n且*Nn），且24a.(1)求数列na的通项公式；(2)设数列1211nnnaa的前n项和为nT，求证：1nT.题型四：通项裂项为“”型例题1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记nS为数列na的前n项和，且13a，2nnSnann．(1)求数列na的通项公式；(2)设1111nnnnnnaabaa，求数列nb的前n项和nT．例题2．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知数列na的前n项和为nS，满足11a，1(1)(1)nnnSnSnn(1)求na的通项公式；(2)若111nnnnabSn，求数列{}nb的前20项和20T.例题3．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列na满足：11a，1212nnaan.(1)证明：1na是等比数列，并求na的通项公式；(2)令1(1)(32)(1)1nnnnbnna，求nb的前n项和nS.例题4．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设正项数列na的前n项和为nS，已知35a，且21441nnaSn.(1)求na的通项公式；(2)若1(1)2nnnnnbaa，求数列nb的前n项和nT.三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练一、单选题1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列na的通项公式为*1222,2,nnnnnabaaannN，则122023111bbb（）A．20212023B．20222023C．20232025D．202420252．（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）等比数列na中，12,2aq，数列111nnnnabaa，nb的前n项和为nT，则满足99100nT的n的最小值为（）A．6B．7C．8D．93．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他名字定义的函数称为高斯函数fxx，其中x表示不超过x的最大整数．已知正项数列na的前n项和为nS，且112nnnSaa，令21nnnbSS，则1299bbb（）A．7B．8C．17D．184．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期中）已知函数*lnNfxnxxn的图象在点11,fnn处的切线的斜率为na，则数列11nnaa的前n项和nS为（）A．11nB．235212nnnnC．41nnD．235812nnnn5．（2023秋·江苏常州·高三校考期末）已知正项数列na是公差不为0的等差数列，1a，2a，4a成等比数列.若241113kkkaa，则1a（）A．169B．916C．43D．346．（2023·全国·高三专题练习）等差数列na各项均为正数，首项与公差相等，151112kkkaa，则2022a的值为（）A．9069B．9079C．9089D．90997．（2023秋·江苏·高二专题练习）记数列na前n项和为nS，若1，na，nS成等差数列，且数列11211nnnaaa的前n项和nT对任意的*nN都有210nT恒成立，则的取值范围为（）A．1,6B．1,2C．5,6纟ç-?úçú棼D．,1二、多选题8．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）已知数列na的前n项和nS满足32nnSan，*nN，且13nnnnbaa，*nN，数列nb的前n项和为nT，则（）A．数列1na是等比数列B．数列1na是等比数列C．3322nnSnD．14nT9．（2023春·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知数列na满足2*12222nnaaannN，4211loglognnnbaa，nS为数列nb的前n项和.若对任意实数，都有nS成立.则实数的可能取值为（）A．4B．3C．2D．1三、填空题10．（2023·全国·高三专题练习）在数列na中，已知21nna，且1221nnnnbnaa，则数列nb的前n项和nS.11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足121212222212nnnnnnaaaa，若11nnncaa，则数列nc的前n项和nT.12．（2023·河南·校联考模拟预测）在数列na中，21212122121nnnna，其前n项和为nS，则3nS．四、解答题13．（2023春·陕西西安·高二校考期中）设数列na满足15a，1227nnaan.(1)计算2a，3a，猜想na的通项公式并用数学归纳法加以证明；(2)若数列11nnaa的前n项和为nT，证明：110nT.14．（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考期中）已知数列na为等差数列，数列nb为正项等比数列，且满足111ab，221ab，541ab．(1)求数列na和nb的通项公式；(2)设21nnnnncbaa，求数列nc的前2n项和2nS．15．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）已知nS是数列na的前n项和，且1*22NnnSn．(1)求数列na的通项公式；(2)若1211nnnnbaa，求数列nb的前n项和nT．16．（2023·全国·高二专题练习）已知nT为正项数列na的前n项的乘积，且12a，21nnnTa.(1)求na的通项公式；(2)若12311nnnnnabaa，求证：11232nnbbb.17．（2023·四川遂