专题01 空间几何体的外接球与内切球问题(典型题型归类训练)(原卷版）

专题01空间几何体的外接球与内切球问题(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.........................................................................................................1二、典型题型.........................................................................................................3题型一：内切球等体积法.................................................................................3题型二：内切球独立截面法.............................................................................3题型三：外接球公式法.....................................................................................4题型四：外接球补型法.....................................................................................4题型五：外接球单面定球心法.........................................................................5题型六：外接球双面定球心法.........................................................................6三、专项训练.........................................................................................................7一、必备秘籍1．球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。类型一球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥PABCD中，内切球为球O，求球半径r.方法如下：PABCDOABCDOPBCOPCDOPADOPABVVVVVV即：1111133333PABCDABCDPBCPCDPADPABVSrSrSrSrSr，可求出r.类型二球的外接问题1、公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2、补形法（补长方体或正方体）①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CDAB，BCAD，BDAC）3、单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥PABC中，选中底面ABC，确定其外接圆圆心1O（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2sinarA）；②过外心1O做（找）底面ABC的垂线，如图中1PO面ABC,则球心一定在直线（注意不一定在线段1PO上）1PO上；③计算求半径R:在直线1PO上任取一点O如图：则OPOAR，利用公式22211OAOAOO可计算出球半径R.4、双面定球心法（两次单面定球心）如图：在三棱锥PABC中：cab图1CPABabc图2PCBAabc图3CBPAOHBACPO2O1①选定底面ABC，定ABC外接圆圆心1O②选定面PAB，定PAB外接圆圆心2O③分别过1O做面ABC的垂线，和2O做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型题型题型一：内切球等体积法1．（22·23·全国·专题练习）正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：3B．1：33C．313：D．313：2．（22·23下·朔州·阶段练习）正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为．3．（23·24上·萍乡·期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则PAPB的取值范围为.4．（22·23上·张家口·期中）球O为正四面体ABCD的内切球，4AB，PQ是球O的直径，点M在正四面体ABCD的表面运动，则MPMQ的最大值为．5．（22·23上·河南·阶段练习）已知正四面体ABCD的棱长为12，球O内切于正四面体,,ABCDEF是球O上关于球心O对称的两个点，则AEBF的最大值为.6．（22·23上·扬州·期中）中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为．题型二：内切球独立截面法1．（23·24上·淮安·开学考试）球M是圆锥SO的内切球，若球M的半径为1，则圆锥SO体积的最小值为（）A．4π3B．42π3C．8π3D．4π2．（22·23下·咸宁·期末）已知球O内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径12:2:3rr，则圆台的体积与球的体积之比为（）A．32B．1912C．2D．1963．（22·23·全国·专题练习）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为.4．（23·24上·佛山·开学考试）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为4π3，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为．5．（22·23下·成都·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，高为42，则该圆锥的内切球表面积为.题型三：外接球公式法1．（16·17·全国·单元测试）若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为()A．50πB．100πC．150πD．200π2．（22·23·全国·专题练习）设球O是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O的截面，则最小截面的面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π3．（14·15上·佛山·阶段练习）正方体的外接球（正方体的八个顶点都在球面上）与其内切球（正方体的六个面都与球相切）的体积之比是．题型四：外接球补型法1．（23·24上·成都·开学考试）在三棱锥PABC中，2PAPBPC，,,,PAPBPAPCPBPC则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．43πB．12πC．48πD．323π2．（22·23下·揭阳·期中）在三棱锥SABC中，5SABC，41SBAC，34SCAB，则该三棱锥的外接球表面积是（）A．50πB．100πC．150πD．200π3．（23·24上·成都·开学考试）已知四面体ABCD满足3ABCD，5ADBC，2ACBD，且该四面体ABCD的外接球的表面积是（）A．2πB．6πC．6π11D．4π4．（22·23下·黔西·阶段练习）正三棱锥PABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为.5．（22·23下·黔西·期中）如图，已知在三棱锥PABC中，PAPB，PBPCPCPA，，且222PAPBPC，求该三棱锥外接球的表面积是．题型五：外接球单面定球心法1．（23·24上·汉中·模拟预测）如图，在三棱锥PABC中，PA平面π,6,3,,6ABCPABCCABO为ABC外接圆的圆心，O为三棱锥PABC外接球的球心，OQPA，则三棱锥PABC的外接球O的表面积为．2．（23·24上·秦皇岛·开学考试）三棱锥PABC中，,ABBCP在底面的射影O为ABC的内心，若4,3ABBC，5PO，则四面体PABC的外接球表面积为.3．（22·23下·石家庄·阶段练习）已知球O是正四面体PABC的外接球，E为棱PA的中点，F是棱PB上的一点，且2FCEF，则球O与四面体PEFC的体积比为.4．（22·23下·淄博·期末）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD为等边三角形，平面PAD平面ABCD，其中2AD，3AB，则四棱锥PABCD的外接球表面积为.题型六：外接球双面定球心法1．（22·23上·抚州·期中）已知菱形ABCD的各边长为2,60D.如图所示，将ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB，得到三棱锥SABC，此时3SB.若E是线段SA的中点，点F在三棱锥SABC的外接球上运动，且始终保持EFAC则点F的轨迹的面积为.2．（22·23·赣州·模拟预测）如图，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中4AB，把ADEV沿着DE翻折至ADE的位置，得到四棱锥ABCED，则当四棱锥ABCED的体积最大时，四棱锥ABCED外接球的球心到平面ABC的距离为.3．（22·23下·湖南·期末）为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图（一）所示的四边形PABC中，2ABBC，PAPC，60ABC，PAPC.第二步：以AC为折痕将PAC△折起，得到三棱锥PABC，如图（二）.第三步：折成的二面角PACB的大小为120，则活动结束后计算得到三棱锥PABC外接球的表面积为.三、专项训练一、单选题1．（22·23下·河南·模拟预测）已知直六棱柱的所有棱长均为2，且其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）.A．16πB．20πC．24πD．25π2．（22·23下·宁德·期中）正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（）A．2π3B．4π3C．8π3D．3π3．（23·24上·河北·开学考试）长方体的一个顶点上三条棱长是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是（）A．1252π3B．1252πC．50πD．125π4．（22·23下·临夏·期末）已知四棱锥PABCD的体积为83，侧棱PA底面ABCD，且四边形ABCD是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．12πB．8πC．4πD．2π5．（23·24上·广东·阶段练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，,EF分别是,ABBC的中点，将AED△，BEF△，DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得,,ABC三点重合于点A，若三棱锥AEFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．2πB．3πC．6πD．8π6．（23·24上·安徽·开学考试）在封闭的等边圆锥（轴截面为等边三角形）内放入一个球，若球的最大半径为1，则该圆锥的体积为（）A．3πB．6πC．9πD．12π7．（23·24上·莆田·阶段练习）三棱锥PABC中，ABC是边长为23的正三角形，4,,PAPAABD为BC中点且5PD，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．48πD．64π8．（22·23·九江·一模）三棱锥ABCD中，ABD△与BCD△均为边长为2的等边三角形，若平面ABD平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．8π3B．20π3C．8πD．20π二、填空题9．（23·24·柳州·模拟预测）已知圆锥的底面直径为23，轴截面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的