专题04 点到平面的距离(典型题型归类训练)(原卷版）

专题04点到平面的距离(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍......................................................1二、典型题型......................................................2题型一：等体积法求点到平面的距离................................2题型二：利用向量法求点到平面的距离..............................5三、专项训练......................................................8一、必备秘籍1、等体积法求点到平面的距离（1）当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法（2）在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平行，面面平行）转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理面面平行也可以变换顶点2、利用向量法求点到平面的距离如图，已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点.过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.||||||||||||nAPnAPnPQAPnnn二、典型题型题型一：等体积法求点到平面的距离1．（23·24高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，边长为1的正方形ABCD中，,EF分别是,BCCD的中点，沿,,AEEFAF把这个正方形折成一个四面体使,,BCD三点重合，重合后的点记为G.则在四面体AEFG中，点G到平面AEF的距离为.2．（23·24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱OO的底面圆O的圆周上，120AOP，圆O的直径4AB，圆柱的高3OO．(1)求圆柱的体积；(2)求点A到平面APB的距离．3．（17·18高二下·河北唐山·期末）如图，已知长方体1AC中，1ABBC，12BB，连接1BC，过B点作1BC的垂线交1CC于E，交1BC于F．(1)求证：1AC平面EBD；(2)求点A到平面11ABC的距离；4．如图，在正方体1111ABCDABCD中，1AB.(1)求证：AB∥平面11ADCB；(2)求点A到面1ABD的距离.5．（23·24高二上·江西九江·阶段练习）如图所示的五边形SBADC中ABCD是矩形，2,ADABSBSC，沿BC折叠成四棱锥,,2SABCDMBMCSM.(1)从条件①25sin5SBM；②3cos3SAM；③6SA中任选两个作为补充条件，证明：平面SBC平面ABCD：(2)在（1）的条件下，求点C到平面SAD的距离.6．（23·24高三上·上海浦东新·阶段练习）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是矩形，其中1AB，2AD，OA底面ABCD，2OA，M为OA的中点，N为BC的中点.(1)证明：直线//MN平面OCD；(2)求点B到平面OCD的距离.7．（23·24高二上·上海杨浦·期中）如图,P为菱形ABCD外一点,PD平面ABCD,60BAD,E为棱BC的中点.(1)求证:ED平面PAD;(2)若2PDAD,求BC到平面PAD的距离.题型二：利用向量法求点到平面的距离1．（23·24高二上·广东东莞·阶段练习）已知三棱柱111ABCABC-的侧棱与底面垂直，12AAABAC，ABAC，M是1CC的中点，N是BC的中点，P是11AB的中点，则点A到平面MNP的距离为（）A．77B．52C．5514D．514142．（23·24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC面,90BCDECDEBED，2,1,2ABCDDEBEAC.(1)证明：AC平面BCDE；(2)求点D到平面ABE的距离.3．（23·24上·沧州·阶段练习）如图所示，四棱锥SABCD的底面是矩形，,2ABaAD，1SA，且SA底面ABCD，若边BC上存在异于,BC的一点P，使得直线PSPD．(1)求a的最大值；(2)当a取最大值时，求异面直线AP与SD所成角的余弦值；(3)当a取最大值时，求点P到平面SCD的距离．4．（23·24上·北辰·期中）如图，//ADBC且2,,//ADBCADCDEGAD且,//EGADCDFG且2,CDFGDG平面,2ABCDDADCDG．(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：//MN平面CDE；(2)求平面BCE和平面BCF夹角的正弦值；(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为45，求点P到平面CDE的距离．5．（重庆市部分区2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题）如图，在正方体1111ABCDABCD中，2AB．(1)求证：11BCAC^；(2)求点1D到平面1BCD的距离．三、专项训练一、单选题1．（23·24高二上·陕西·阶段练习）如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，2AB，14AA．点2A，2C，2D分别在棱1AA，1CC，1DD上，21AA，22DD，23CC，则点D到平面222ACD的距离为（）A．463B．6C．63D．2632．（23·24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E为线段1DD的中点，F为1BB线段的中点，则直线1FC到平面1ABE的距离为（）A．25B．23C．15D．133．（23·24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，,EF分别是,BCCD的中点，则直线BD到平面11EFDB的距离为（）A．36B．12C．24D．134．（23·24上·邯郸·阶段练习）在正三棱柱111ABCABC-中，12,6ABAA，点,EF分别为棱1,BBAC的中点，则点1C到平面1AEF的距离为（）A．365B．665C．3105D．61055．（23·24上·绍兴·阶段练习）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，E为1AD的中点，F为1CC的三等分点(靠近C点)，则点E到平面BDF的距离为（）A．21111B．1111C．263D．636．（23·24高二上·北京·阶段练习）如图，在长方体1111ABCDABCD中，1222AAABBC，点B到平面1ACD的距离为（）A．69B．13C．23D．637．（23·24高二上·湖南益阳·阶段练习）如图所示，在直三棱柱111ABCABC-中，1,1,2,ACCBACCBCCD为棱1CC的中点，则点1A到平面ABD的距离是（）A．22B．63C．233D．668．（23·24高二上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所示的“堑堵”111ABCABC-，其中ACBC，若14AAACBC，则A到平面11ABC的距离为（）A．2B．22C．22D．239．（23·24高三上·河北沧州·阶段练习）在三棱柱111ABCABC-中，1AA平面ABC，16BBBCAC，114AB，点D是AB的中点，点E是平面11AACC的中心，则点E到平面1BCD的距离为（）A．105B．2105C．3105D．4105二、填空题10．（23·24高二上·宁夏固原·阶段练习）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点1C到平面11DCB的距离为.11．（23·24高二上·山西太原·阶段练习）如下图所示，在平行六面体1111ABCDABCD中，各棱长均为2，已知160AABBAD，11cos4AAD，则点A到平面1ABD的距离.12．（23·24高二上·安徽·阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD中，平面PBC平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PBC是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为.13．（23·24高二上·天津西青·阶段练习）如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD，点O是棱AD的中点，点O到直线1BC的距离为．三、解答题14．（23·24高三上·四川成都·阶段练习）已知正方形ABCD的边长为2，PAB△为等边三角形（如图1所示）．沿着AB折起，点P折起到点P的位置，使得侧面PAB底面ABCD．M是棱AD的中点（如图2所示）．(1)求证：PCBM；(2)求点C与平面PBM的距离．15．（23·24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，已知一个组合体由一个圆锥PAB与一个圆柱1OO构成（圆锥底面与圆柱上底面重合.平面ABCD为圆柱的轴截面），已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8.(1)求这个组合体的体积(2)设F为半圆弧CD的中点，求P到面ABF的距离.16．（23·24高三上·广东佛山·阶段练习）如图，在正三棱柱111ABCABC-中，点E为侧棱1BB的中点，且2AB.(1)证明：平面1AEC平面1,ACCA(2)若二面角111EACB的大小为π6，求点C到平面11EAC的距离.17．（23·24高二上·辽宁·阶段练习）如图，六面体ABCDEFG中，BE面ABC且BE面DEFG，//DGEF，1EDDGGF，2ABBCCAEF.(1)求证：DF平面ABED；(2)若二面角ADGE的余弦值为5719，求点C到直线AD的距离.18．（23·24高二上·北京通州·期中）如图，在正方体1111ABCDABCD中，,,,EFGH分别是棱AB，11BC，11CD，1DD的中点.(1)求证：,,,EFGH四点共面；(2)求1BD与平面EFGH所成角的正弦值；(3)求点1B到平面EFGH的距离.