专题06 导数（解答题10种考法）（精讲）（原卷版）

专题06导数（解答题10种考法）考法一含参单调性的分类讨论【例1-1】（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知函数1lnRaxfxaxax．(1)讨论fx的单调性；(2)求fx在1,2上的最小值ga．【变式】1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数2exfxxax.(1)当4a时，求曲线yfx在0,0f处的切线方程；(2)讨论fx的单调性.2．（2023秋·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知函数12e,44xfxaxx其中aR．(1)若0a，求函数fx的单调区间和极值;(2)当1a时，讨论函数fx的单调区间．3．（2023秋·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习）已知函数2e102xmfxxxm.(1)当0m时，求函数fx的最小值；(2)当0m时，讨论fx的单调性.考法二讨论零点个数【例2】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知a为实数，函数2lnfxxaxx(1)当0a时，求函数fx的极值点；(2)当12a时，试判断函数fx的零点个数，并说明理由．【变式】1．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）设函数3exfxm，21lngxaxbx，其中mabR，，，曲线gx在1x处的切线方程为3.yx(1)若fx的图象恒在gx图象的上方，求m的取值范围；(2)讨论关于x的方程fxgx根的个数．2.(2022·广东广州检测)已知a≥1，函数f(x)＝xlnx－ax＋1＋a(x－1)2．(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；(2)讨论f(x)的零点个数．考法三已知零点个数求参数【例3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数21ln2fxxxax，其中Ra.(1)若1a，求fx的单调区间；(2)若fx恰有2个不同的极值点，求a的取值范围；(3)若fx恰有2个不同的零点，求a的取值范围.【变式】1．（2023·河南·模拟预测）已知函数32fxxaxx，且10f.(1)求fx在1,2上的最大值；(2)设函数4gxxm，若函数yfxgx在R上有三个零点，求m的取值范围.2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1()(1)lnfxaxaxx．(1)当0a时，求()fx的最大值；(2)若()fx恰有一个零点，求a的取值范围．3．（2023·贵州遵义·统考三模）已知函数322123fxxkxkx，21(gxkx其中)kR．(1)讨论函数fx的单调性；(2)若方程fxgx有三个根，求k的取值范围．考法四恒成立与能成立问题【例4-1】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数2exfxxa，其中aR.(1)讨论函数fx极值点的个数；(2)对任意的0x，都有ln1fxx，求实数a的取值范围.【例4-2】（2022·北京·统考高考真题）已知函数()eln(1)xfxx．(1)求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；(2)设()()gxfx，讨论函数()gx在[0,)上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)st，有()()()fstfsft．【变式】1．（2023·浙江·模拟预测）已知函数2ln,exfxaxxgxx.(1)讨论fx的单调性；(2)若对任意0,xfxgx恒成立，求实数a的取值范围.2．（2023秋·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）设211ln2fxaxaxx，aR.(1)当2a时，求fx的极值；(2)讨论函数fx的单调性；(3)若0x有0fx恒成立，求a的取值范围.3．（2023秋·江西·高三临川一中校联考阶段练习）已知函数2e42e43xxfxaax．(1)讨论fx的单调性；(2)若0,1x时，0fx恒成立，求实数a的取值范围．考法五不等式的证明【例5-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数()2lnfxxx=-，21()2gxxx．(1)求()fx的极值；(2)证明：当1x时，()()0fxgx．（参考数据：ln20.69）【例5-2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数ln,fxxmxmR．(1)当3m时，求fx的单调区间；(2)当1,x时，若不等式mfxx恒成立，求m的取值范围；(3)设*nN，证明：22235212ln11122nnnn．【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数exfxaax．(1)讨论fx的单调性；(2)证明：当0a时，32ln2fxa．2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知函数ln1fxxkx．(1)讨论函数fx的单调性；(2)若函数exgxax，求证：当2e0,2a时，1gxfxkx．考法六三角函数型【例6】（2023·全国·统考高考真题）已知函数2sinπ,0,cos2xfxaxxx．(1)当1a时，讨论fx的单调性；(2)若sin0fxx，求a的取值范围．【变式】1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）设函数sinexxfx．(1)求fx的单调区间；(2)设函数gxfxa，求gx在0,3π的零点个数．2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数22sinfxaxx，fx的导函数为fx．(1)若fx在π5π,23上单调递减，求实数a的取值范围；(2)当0,πx时，记函数fx的极大值和极小值分别为，，求证：23．考法七切线问题【例7】（2022·全国·统考高考真题）已知函数32(),()fxxxgxxa，曲线()yfx在点11,xfx处的切线也是曲线()ygx的切线．(1)若11x，求a；(2)求a的取值范围．【变式】1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知aR，函数21()ln2fxxaxx．(1)讨论()fx的单调性；(2)求证：存在0a，使得直线exy与函数21()()2gxfxax的图像相切．2．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数lnfxmx，1exgx．(1)若曲线yfx在1,0处的切线与曲线ygx相交于不同的两点11,Axy，22,Bxy，曲线ygx在A，B点处的切线交于点00,Mxy，求120xxx的值；(2)当曲线yfx在1,0处的切线与曲线ygx相切时，若1,x，e1eefxgxaax恒成立，求a的取值范围．3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知0a，函数1ln1fxaxxx.(1)若fx是增函数，求a的取值范围；(2)证明：当102a，且1ea时，存在三条直线123,,lll是曲线lnyx的切线，也是曲线1yaxx的切线.考法八极值点偏移【例8】（2022·全国·统考高考真题）已知函数lnxfxxaxxe．(1)若0fx，求a的取值范围；(2)证明：若fx有两个零点12,xx，则121xx．【变式】1．（2023·安徽马鞍山·统考一模）设函数2ln1kxfxxx.(1)若0fx对2,x恒成立，求实数k的取值范围；(2)已知方程ln1113exx有两个不同的根1x、2x，求证：126e2xx，其中e2.71828为自然对数的底数.2．（2023·安徽合肥）已知函数21()e2xfxxax有两个极值点1x，2x.(1)求实数a的取值范围；(2)求证：122fxfx.3（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数2lnfxxax.(1)讨论函数fx的单调性：(2)若12,xx是方程0fx的两不等实根，求证：22122exx；考法九交点或零点之间的关系【例9】（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数1exxfxa和lnaxgxx在同一处取得相同的最大值．(1)求实数a；(2)设直线yb与两条曲线yfx和ygx共有四个不同的交点，其横坐标分别为1234,,,xxxx（1234xxxx），证明：1423xxxx．【变式】1．（2023·新疆·统考三模）已知函数2()(1)ln1fxaxaxx，()()fxgxx．(1)讨论gx的单调性；(2)若方程2()eln1xfxxxx有两个不相等的实根12,xx，求实数a的取值范围，并证明12212eexxxx．2．（2023·河南·校联考二模）已知函数2)R(lnfxxkxk.(1)讨论函数fx的单调性；(2)若方程2fxkxkx有两个不同的实数根12,xx，证明：12()2kxx.考法十根据极值（点）求参数【例10】（2023·新疆·校联考模拟预测）已知函数3211()(1)e()32xfxxaxxaR，fx是fx的导函数.(1)若fxgxx，求证：当0a时，0ga恒成立；(2)若fx存在极小值，求a的取值范围.【变式】1.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数2ln1xfxxxx.(1)证明：fx恰有一个零点；(2)设函数22ln1,1gxaxxFxfxgxx.若Fx至少存在两个极值点，求实数a的取值范围..2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知函数21ln22fxaxxx.(1)讨论fx的单调性；(2)若fx有两个极值点1x，2x，证明：1230fxfx.