专题2.2 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】（举一反三）（新高考专用）（原卷版）

专题2.2函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性【九大题型】【新高考专用】【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】................................................................................................2【题型2利用函数的单调性求参数】...................................................................................................................3【题型3利用函数的单调性求最值】...................................................................................................................4【题型4函数的奇偶性及其应用】.......................................................................................................................4【题型5函数的对称性及其应用】.......................................................................................................................5【题型6函数的周期性及其应用】.......................................................................................................................5【题型7利用函数的性质比较大小】...................................................................................................................6【题型8利用函数的性质解不等式】...................................................................................................................6【题型9函数性质的综合应用】...........................................................................................................................71、函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想.对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大.【知识点1函数的单调性与最值的求法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.3.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=，则T=2a；(5)若f(x+a)=，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】【例1】（2023·海南海口·统考模拟预测）函数𝑓(𝑥)=𝑥2−4|𝑥|+3的单调递减区间是（）A．(−∞,−2)B．(−∞,−2)和(0,2)C．(−2,2)D．(−2,0)和(2,+∞)【变式1-1】（2023上·北京海淀·高一人大附中校考期中）“函数𝑓(𝑥)在区间[1,2]上不是．．增函数”的一个充要条件是（）A．“存在a，𝑏∈[1,2]，使得𝑎𝑏且𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)”B．“存在a，𝑏∈[1,2]，使得𝑎𝑏且𝑓(𝑎)≥𝑓(𝑏)”C．“存在𝑎∈(1,2]，使得𝑓(𝑎)≤𝑓(1)”D．“存在𝑎∈(1,2)，使得𝑓(𝑎)≥𝑓(2)”【变式1-2】（2022·江西·校联考二模）已知函数𝑓(𝑥)={𝑥2−2,𝑥≥0,𝑥+3,𝑥0,若𝑓(𝑎)=𝑓(𝑎+3)，则𝑔(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑥的单调递增区间为（）A．(18,+∞)B．(−∞,18)C．(12,+∞)D．(−∞,12)【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为R，对任意𝑥1，𝑥2且𝑥1≠𝑥2，都有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2−1，则下列说法正确的是（）A．𝑦=𝑓(𝑥)+𝑥是增函数B．𝑦=𝑓(𝑥)+𝑥是减函数C．𝑦=𝑓(𝑥)是增函数D．𝑦=𝑓(𝑥)是减函数【题型2利用函数的单调性求参数】【例2】（2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)={−𝑥2+2𝑎𝑥+4,𝑥⩽1,1𝑥,𝑥1是[−12,+∞)上的减函数，则𝑎的取值范围是（）A．[−1,−12]B．(−∞,−1]C．[−1,−12)D．(−∞,−1)【变式2-1】（2023·山西·校考模拟预测）已知𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的单调函数，∀𝑥∈𝑅,𝑓(𝑓(𝑥)−𝑥3−2𝑥+1)=13，则𝑓(5)=（）A．114B．116C．134D．136【变式2-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）命题𝑝:𝑓(𝑥)={𝑥2+𝑎𝑥−8,−1≤𝑥≤1(−𝑎+4)𝑥−3𝑎,𝑥−1在𝑥∈(−∞,1]上为增函数，命题𝑞:𝑔(𝑥)=𝑎2𝑥−4𝑥−2在(2,+∞)单调减函数，则命题q是命题p的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式2-3】（2023·北京丰台·统考一模）已知函数𝑓(𝑥)的定义域为𝑅，存在常数𝑡(𝑡0)，使得对任意𝑥∈𝑅，都有𝑓(𝑥+𝑡)=𝑓(𝑥)，当𝑥∈[0,𝑡)时，𝑓(𝑥)=|𝑥−𝑡2|．若𝑓(𝑥)在区间(3,4)上单调递减，则t的最小值为（）A．3B．83C．2D．85【题型3利用函数的单调性求最值】【例3】（2023·江西九江·校考模拟预测）若0𝑥6，则6𝑥−𝑥2有（）A．最小值3B．最大值3C．最小值9D．最大值9【变式3-1】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥−2𝑥|,𝑔(𝑥)=𝑎𝑥+2,𝑥∈𝑅，用𝑀(𝑥)表示𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)中的较大者，记为𝑀(𝑥)=max{𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)}，若𝑀(𝑥)的最小值为1，则实数𝑎的值为（）A．0B．±12C．±√2D．±2【变式3-2】（2023下·山东青岛·高一统考开学考试）已知𝑥0，𝑦0，𝑆=2𝑥𝑦4𝑥2+𝑦2+𝑥𝑦𝑥2+𝑦2，则（）A．S的最大值是910B．S的最大值是2√23C．S的最大值是32D．S的最大值是9√24【变式3-3】（2023上·浙江·高三校联考期中）已知函数𝑓(𝑥)的定义域为R+，对于任意的𝑥，𝑦∈R+，都有𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)=𝑓(𝑥𝑦)+1，当𝑥1时，都有𝑓(𝑥)1，且𝑓(2)=2，当𝑥∈[1,16]时，则𝑓(𝑥)的最大值是（）A．5B．6C．8D．12【题型4函数的奇偶性及其应用】【例4】（2023·河南开封·统考模拟预测）函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)=2𝑥−1𝑥−2，则下列函数中为奇函数的是（）A．𝑓(𝑥+1)−2B．𝑓(𝑥+2)−2C．𝑓(𝑥−2)+2D．𝑓(𝑥+1)+2【变式4-1】（2023·湖南·校联考模拟预测）设函数𝑓(𝑥)的定义域为𝑅，且𝑓(𝑥+1)是奇函数，𝑓(2𝑥+3)是偶函数，则（）A．𝑓(0)=0B．𝑓(4)=0C．𝑓(5)=0D．𝑓(−2)=0【变式4-2】（2023·四川·校联考模拟预测）已知𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥+𝑎−1，则满足𝑓(𝑥)≥0的𝑥的取值范围是（）A．(−∞,−1]∪[0,1]B．[−1,1]C．[−1,0]∪[1,+∞)D．(−∞,−1]∪[1,+∞)【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=ln(√𝑥2+1+𝑥)+2𝑥3,𝑔(𝑥)是定义在𝑅上的偶函数，且𝑔(𝑥)在(−∞,0]上单调递增，则下列判断正确的是（）A．𝑓(𝑥)⋅|𝑔(𝑥)|是偶函数B．|𝑓(𝑥)|⋅𝑔(𝑥)是奇函数C．𝑓(𝑔(2023))𝑓(𝑔(2024))D．𝑔(𝑓(2023))𝑔(𝑓(2024))【题型5函数的对称性及其应用】【例5】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2𝑥2−6𝑥+18，则（）A．𝑓(𝑥)是偶函数B．𝑓(𝑥)是奇函数C．𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=3对称D．𝑓(𝑥)的图象关于点(3,1)成中心对称【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥)满足对任意实数𝑥有𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥+1)−𝑓(𝑥)，若𝑦=𝑓(2𝑥)的图象关于直线𝑥=12对称，𝑓(1)=2，则∑23𝑘=1𝑓(𝑘)=（）A．2B．1C．−1D．−2【变式5-2】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若函数𝑦=𝑓(𝑥)