专题2.3 幂函数与指、对数函数【九大题型】（举一反三）（新高考专用）（原卷版）

专题2.3幂函数与指、对数函数【九大题型】【新高考专用】【题型1指数幂与对数式的化简求值】...............................................................................................................2【题型2指对幂函数的定义与解析式】...............................................................................................................3【题型3指对幂函数的定义域与值域】...............................................................................................................4【题型4指对幂函数的图象的识别与应用】........................................................................................................4【题型5指对幂函数的单调性问题】...................................................................................................................5【题型6指对幂比较大小】...................................................................................................................................6【题型7利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】....................................................................6【题型8反函数及其应用】...................................................................................................................................7【题型9指数函数与对数函数的综合应用】........................................................................................................81、幂函数与指、对数函数幂函数、指数函数与对数函数是三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.【知识点1幂函数的解题技巧】1.幂函数的解析式幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.2.幂函数的图象与性质在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.3.比较幂值的大小在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【知识点2指数、对数运算的解题策略】1.指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.2.对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)指对互化：(a0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【知识点3指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】1．指数函数的常见问题及解题思路(1)比较指数式的大小比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.(2)指数方程(不等式)的求解思路指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.(3)指数型函数的解题策略涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.2．对数函数的常见问题及解题思路(1)对数函数图象的识别及应用①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.(2)对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.【题型1指数幂与对数式的化简求值】【例1】（2023·山东·校联考模拟预测）若𝑎−1−𝑎1=4，则𝑎−2+𝑎2的值为（）A．8B．16C．2D．18【变式1-1】（2023·天津河西·统考一模）已知3𝑎=4𝑏=𝑚,1𝑎+12𝑏=2，则𝑚的值为（）A．36B．6C．√6D．√64【变式1-2】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）计算：(1)(279)0.5+0.1−2+(21027)−23−3π0+3748；(2)log23⋅log34+(lg5)2+lg5⋅lg20+12lg16−2log23.【变式1-3】（2023·吉林长春·长春校考模拟预测）（1）求值：(√23×√3)6+(√2√2)43−4×(1649)−12−√24×80.25−(−2023)0；（2）已知lg𝑥+lg𝑦=2lg(𝑥−2𝑦)，求log√2(𝑥𝑦)的值.【题型2指对幂函数的定义与解析式】【例2】（2022上·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（）A．𝑦=ln𝑥B．𝑦=log2𝑥2C．𝑦=log𝑎𝑥9D．𝑦=log2𝑥−2022【变式2-1】（2023·四川成都·校联考一模）已知幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼的图象过点𝑃(3,9)，则𝛼=（）A．12B．1C．2D．3【变式2-2】（2023上·吉林长春·高一校考期中）函数𝑦=(𝑎2−5𝑎+7)𝑎𝑥+6−2𝑎是指数函数，则有（）A．𝑎=2或𝑎=3B．𝑎=3C．𝑎=2D．𝑎2，且𝑎≠3【变式2-3】（2023上·高一课时练习）若函数𝑓(𝑥)=(𝑎2−3𝑎+3)log𝑎𝑥是对数函数，则a的值是（）A．1或2B．1C．2D．𝑎0且𝑎≠1【题型3指对幂函数的定义域与值域】【例3】（2023上·四川成都·高一校考期中）函数𝑓(𝑥)=√2𝑥−4𝑥−5的定义域为（）A．(−∞,2]B．(−∞,5)∪(5,+∞)C．[2,+∞]D．[2,5)∪(5,+∞)【变式3-1】（2022上·安徽·高一校联考阶段练习）已知幂函数𝑓(𝑥)的图像过点(2,14)，则（）A．𝑓(𝑥)为减函数B．𝑓(𝑥)的值域为(0,+∞)C．𝑓(𝑥)为奇函数D．𝑓(𝑥)的定义域为R【变式3-2】（2022·北京东城·统考一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（）A．𝑦=ln𝑥B．𝑦=𝑒𝑥C．𝑦=𝑥3D．𝑦=1𝑥【变式3-3】（2023上·江西吉安·高一校考阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)={3𝑥−2,𝑥⩽1,𝑥12,1𝑥⩽4,则函数𝑓(𝑥)值域是（）A．(−∞,2]B．(−2,2]C．(1,4]D．(−∞,4]【题型4指对幂函数的图象的识别与应用】【例4】（2023上·全国·高三专题练习）已知函数𝑦=log𝑎(𝑥+𝑐)(𝑎,𝑐为常数，其中𝑎0,𝑎≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（）A．𝑎1,𝑐1B．𝑎1,0𝑐1C．0𝑎1,𝑐1D．0𝑎1,0𝑐1【变式4-1】（2022上·全国·高一专题练习）如图所示是函数𝑦=𝑥𝑚𝑛（m、𝑛∈𝑁*且互质）的图象，则（）A．m，n是奇数且𝑚𝑛1B．m是偶数，n是奇数，且𝑚𝑛1C．m是偶数，n是奇数，且𝑚𝑛1D．m，n是偶数，且𝑚𝑛1【变式4-2】（2023·四川成都·校联考一模）已知函数𝑓(𝑥)=2|𝑥|e𝑥−e−𝑥，则函数𝑓(𝑥)的图象的可能是（）A．B．C．D．【变式4-3】（2022·高一课时练习）函数①𝑦=𝑎𝑥；②𝑦=𝑏𝑥；③𝑦=𝑐𝑥；④𝑦=𝑑𝑥的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a，b，c，d的值分别是（）A．54，√3，13，12B．√3，54，13，12C．12，13，√3，54，D．13，12，54，√3，【题型5指对幂函数的单调性问题】【例5】（2022上·北京朝阳·高三统考期中）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递减的是（）A．𝑦=log2𝑥B．𝑦=2−𝑥C．𝑦=√𝑥+1D．𝑦=𝑥3【变式5-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若幂函数𝑓(𝑥)=(2𝑚2−3𝑚−1)𝑥𝑚在(0,+∞)上单调递减，则𝑚=（）A．2B．12C．−12D．-2【变式5-2】（2023·广东韶关·统考一模）函数𝑓(𝑥)=log2(𝑥2−4)在(−∞,𝑎)上单调递减，则实数𝑎取值范围是（）A．(−∞,−2]B．[2,+∞)C．(−∞,0]D．[0,+∞)【变式5-3】（2023·北京东城·统考二模）设函数𝑓(𝑥)={2𝑥,𝑥≤𝑎𝑥2,𝑥𝑎，若𝑓(𝑥)为增函数，则实数𝑎的取值范围是（）A．(0,4]B．[2,4]C．[2,+∞)D．[4,+∞)【题型6指对幂比较大小】【例6】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知𝑎=6log23.4，𝑏=6log43.6，𝑐=(16)log30.3，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑏𝑎𝑐C．𝑎𝑐𝑏D．𝑐𝑎𝑏【变式6-1】（2023·江西·统考模拟预测）设𝑎=e−43，𝑏=ln3，𝑐=3−1+log32，则（）A．𝑐𝑎𝑏B．𝑏𝑎𝑐C．𝑎𝑐𝑏D．𝑎𝑏𝑐【变式6-2】（2023·四川南充·模拟预测）已知𝑎=(25)25,𝑏=(35)25,𝑐=log252，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑏𝑎𝑐C．𝑐𝑏𝑎D．𝑐𝑎𝑏【变式6-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知𝑎=ln𝜋,𝑏=log3𝜋,𝑐=√𝜋ln2，则𝑎,𝑏,𝑐的大小关系是（）A．𝑏𝑎𝑐B．𝑎𝑏𝑐C．𝑐𝑏𝑎D．bca【题型7利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】【例7】（2