专题4.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（原卷版

专题4.1同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换【八大题型】【新高考专用】【题型1正、余弦齐次式的计算】.......................................................................................................................2【题型2“和”“积”转换】...............................................................................................................................2【题型3诱导公式的应用——化简、求值】........................................................................................................3【题型4同角关系式与诱导公式的综合应用】....................................................................................................3【题型5三角恒等变换的化简问题】...................................................................................................................4【题型6三角恒等变换——给值求值型问题】....................................................................................................4【题型7三角恒等变换——给值求角型问题】....................................................................................................5【题型8三角恒等变换的综合应用】...................................................................................................................51、同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、三角函数的化简求值等内容，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；但在有关三角函数的解答题中有时也会涉及到三角恒等变换、合并化简，此时试题难度中等.【知识点1同角三角函数关系式的常用结论】1.同角三角函数关系式的常用变形2.同角三角函数关系式的注意事项在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【知识点2诱导公式及其应用】1.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.2.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.3.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.4.同角三角函数关系式和诱导公式化简、求值的解题策略利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程；同时要注意角的范围对三角函数值符号的影响.【知识点3三角恒等变换几类问题的解题策略】1.给值求值问题的解题思路给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.2.给角求值问题的解题思路给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.3.给值求角问题的解题思路给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.4.三角恒等变换的综合应用的解题策略三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.【题型1正、余弦齐次式的计算】【例1】（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知1−2sin𝛼cos𝛼cos2𝛼−sin2𝛼=13，则tan𝛼=（）A．13B．12C．13或1D．12或1【变式1-1】（2023·四川成都·统考一模）已知𝛼∈(0,π)，且sin𝛼−√3cos𝛼=2，则tan𝛼=（）A．−√3B．−√33C．√33D．√3【变式1-2】（2023下·江西萍乡·高一统考期中）已知tan𝜃=2，则cos𝜃−2sin𝜃cos𝜃+sin𝜃=（）A．0B．−53C．-1D．13【变式1-3】（2023·四川·校联考模拟预测）已知角𝛼的顶点为原点，始边为𝑥轴的非负半轴，若其终边经过点𝑃(−2,√5)，则sin2𝛼cos2𝛼+1=（）A．−7√52B．−4√513C．−13√54D．−2√57【题型2“和”“积”转换】【例2】（2023下·贵州遵义·高二校考阶段练习）已知sin𝛼−cos𝛼=13，则sin𝛼cos𝛼=（）A．−89B．23C．49D．√179【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）已知sin𝛼cos𝛼=−16, 𝜋4𝛼3𝜋4，则sin𝛼-cos𝛼的值等于（）A．2√33B．−2√33C．−√63D．43【变式2-2】（2023·山西·校联考模拟预测）已知sin𝛼−cos𝛼=15,𝛼∈(−π2,π2)，则sin𝛼cos𝛼sin𝛼+cos𝛼=（）A．−125B．125C．−1235D．1235【变式2-3】（2023·上海宝山·统考一模）设sin𝛼+cos𝛼=𝑥，且sin3𝛼+cos3𝛼=𝑎3𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎1𝑥+𝑎0，则𝑎0+𝑎1+𝑎2+𝑎3=（）A．－1B．12C．1D．√2【题型3诱导公式的应用——化简、求值】【例3】（2023上·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）已知𝛼∈(π2,π)，若cos(π6−𝛼)=−√24，则cos(𝛼+5π6)的值为（）A．√24B．−√24C．−√144D．√144【变式3-1】（2023上·全国·高一期末）已知sin(π6+𝛼)=13，且𝛼∈(π3,π)，则cos(π3−𝛼)的值为（）A．−2√23B．−13C．2√23D．13【变式3-2】（2023上·高一课时练习）已知sin(π−𝛼)=13，则sin(𝛼−2021π)的值为（）A．2√23B．−2√23C．13D．−13【变式3-3】（2023上·江苏常州·高一校联考阶段练习）若cos(π6+𝛼)=13，则cos(5π6−𝛼)−sin(5π3+𝛼)=（）A．0B．23C．1+2√23D．1−2√23【题型4同角关系式与诱导公式的综合应用】【例4】（2023上·天津·高一校考阶段练习）若tan(7π+𝛼)=𝑎，则sin(𝛼−3π)+cos(π−𝛼)sin(−𝛼)−cos(π+𝛼)的值为（）A．𝑎−1𝑎+1B．𝑎+1𝑎−1C．-1D．1【变式4-1】（2023上·江苏无锡·高一校考阶段练习）已知cos(−𝑥)+sin(π−𝑥)=35，则sin𝑥⋅sin(π2+𝑥)=（）A．1625B．−1625C．825D．−825【变式4-2】（2023上·江苏无锡·高一校联考阶段练习）已知sin𝛼+cos𝛼=−12，则cos(π2+𝛼)1−tan(−𝛼)的值为（）A．−34B．34C．−316D．316【变式4-3】（2023上·甘肃白银·高一校考期末）已知3cos(3π2+𝜃)sin(π−𝜃)=2，且𝜃为第二象限角，则cos(π+𝜃)sin(π2−𝜃)+sin(𝜃−π)=（）A．−1−√2B．1+√2C．√2−1D．1−√2【题型5三角恒等变换的化简问题】【例5】（2023上·江苏南京·高二统考期中）已知cos𝑥+sin𝑥=√23，则sin2𝑥cos(𝑥−π4)＝（）A．−716B．−7√26C．−76D．−73【变式5-1】（2023上·河北·高三校联考阶段练习）设0𝜃π2，若(sin𝜃+cos𝜃)2+√3cos2𝜃=3，则sin2𝜃=（）A．√32B．12C．√22D．34【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）化简：sin2𝛼−2cos2𝛼sin(𝛼−π4)=（）A．√2cos𝛼B．2√2cos𝛼C．√2sin𝛼D．2√2sin𝛼【变式5-3】（2023下·浙江嘉兴·高二统考期末）已知𝛼,𝛽∈(0,π)且满足sin𝛼+sin𝛽=√3(cos𝛼+cos𝛽)，则（）A．tan(𝛼+𝛽)=√3B．tan(𝛼+𝛽)=−√3C．cos(𝛼+𝛽)=√32D．cos(𝛼+𝛽)=−√32【题型6三角恒等变换——给值求值型问题】【例6】（2023上·天津武清·高三校考阶段练习）已知𝛼、𝛽∈(0,π4)，且sin𝛼=13，cos(2𝛼+𝛽)=13，则cos𝛽的值为（）A．2327B．13C．2527D．1927【变式6-1】（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）已知tan(𝛼+π6)=12，tan(π12+𝛽)=13，则tan(𝛼−2𝛽)=（）A．−913B．−211C．1011D．25【变式6-2】（2023下·湖北省直辖县级单位·高一校考期中）已知𝛼∈(3π4,3π2),𝛽∈(π,3π2),cos(𝛼−π4)=−35,sin(𝛽−π4)=513，则sin(𝛼+𝛽)的值为（）A．1665B．−1665C．5665D．−5665【变式6-3】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知π2𝛼3π2，−π2𝛽0，且sin𝛼+sin𝛽=√3(cos𝛼+cos𝛽)，则下列结论一定不正确的是（）A．cos(𝛼−𝛽)=−1B．sin(𝛼−𝛽)=0C．cos(𝛼+𝛽)=−12D．sin(𝛼+𝛽)=−√32【题型7三角恒等变换——给值求角型问题】【例7】（2023下·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）若sin2𝛼=√55，sin(𝛽−𝛼)=√1010，且𝛼∈[π4,π]，𝛽∈[π,32π]，则𝛼+𝛽=（）A．7π4B．9𝜋4C．4π3D．5π3【变式7-1】（2023上·全国·高一专题练习）若𝛼∈(−π2,0)，𝛽∈(0,π2)，且tan(𝛼−𝛽)=−12，tan𝛽=17，则2𝛼−𝛽的值为（）A．−3π4B．−π4C．π4D．3π4【变式7-2】（2023·全国·高三校联考期末）已知0𝛼𝛽π2,cos2𝛼+cos2𝛽+1=2cos(𝛼−𝛽)+cos(𝛼+𝛽)，则（）A．𝛼+𝛽=π6B．𝛼+𝛽=π3C．𝛽−𝛼=π6D．𝛽−𝛼=π3【变式7-3】（2023·江苏无锡·校联考三模）已知tan𝛽=cos𝛼1−sin𝛼，tan(𝛼+𝛽)=1+sin𝛼cos𝛼，若𝛽∈(0,π2)，则𝛽=（）A．π12B．π6C．𝜋4D．π3【题型8三角恒等变换的综合应用】【例8】（2023上·湖南长沙·