专题4.3 正弦定理和余弦定理【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（原卷版）

专题4.3正弦定理和余弦定理【八大题型】【新高考专用】【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】........................................................................................................3【题型2正、余弦定理判定三角形形状】............................................................................................................4【题型3正弦定理判定三角形解的个数】............................................................................................................4【题型4证明三角形中的恒等式或不等式】........................................................................................................5【题型5求三角形（四边形）的面积】...............................................................................................................6【题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】............................................................................................8【题型7距离、高度、角度测量问题】...............................................................................................................9【题型8正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】......................................................................................111、正弦定理、余弦定理解三角形正弦定理、余弦定理解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正弦定理、余弦定理在选择题、填空题中考查较多，也会出现在解答题中，在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为较易题、中档题.对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；二是考查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合命题，需要学生灵活求解.【知识点1解三角形几类问题的解题思路】1.正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.2.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.3.对三角形解的个数的研究已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明.由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：①若B=1，则满足条件的三角形的个数为0；②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1；③若B=1，则满足条件的三角形的个数为1或2.显然由0B=1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行讨论.4.与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.【知识点2测量问题的基本类型和解决思路】1．测量问题1.测量距离问题的基本类型和解决方案当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：类型简图计算方法A,B间不可达也不可视测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得B,C与点A可视但不可达测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+C)，由正弦定理得C,D与点A,B均可视不可达测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.2.测量高度问题的基本类型和解决方案当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：类型简图计算方法底部可达测得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.底部不可达点B与C,D共线测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.点B与C,D不共线测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.3.测量角度问题的解决方案测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】【例1】（2023·江西上饶·统考二模）在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶的角平分线交𝐴𝐵于点𝐷，∠𝐵=π6，𝐵𝐶=3√3，𝐴𝐵=3，则𝐶𝐷=（）A．3√62B．32C．3√22D．52【变式1-1】（2023·四川巴中·统考一模）在△𝐴𝐵𝐶中，若2cos2𝐴−cos𝐴=2cos2𝐵+2cos2𝐶−2+cos(𝐵−𝐶)，则𝐴=（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【变式1-2】（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）在𝛥𝐴𝐵𝐶中，角𝐴、𝐵、𝐶的对边分别为𝑎、𝑏、𝑐，若𝑎=1，𝑐=2√3，𝑏sin𝐴=𝑎𝑠𝑖𝑛(𝜋3−𝐵)，则sin𝐶=（）A．√37B．√217C．√2112D．√5719【变式1-3】（2023·河南南阳·统考二模）△𝐴𝐵𝐶是单位圆的内接三角形，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且𝑎2+𝑏2−𝑐2=4𝑎2cos𝐴−2𝑎𝑐cos𝐵，则𝑎等于（）A．2B．2√2C．√3D．1【题型2正、余弦定理判定三角形形状】【例2】（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑎=2𝑏cos𝐶，则△𝐴𝐵𝐶一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形【变式2-1】（2023·甘肃酒泉·统考三模）在△𝐴𝐵𝐶中内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，若𝑎2𝑏2=sin𝐴cos𝐵sin𝐵cos𝐴，则△𝐴𝐵𝐶的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【变式2-2】（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）在△𝐴𝐵𝐶中，D是BC边的中点，且𝐴𝐵=3，𝐴𝐶=2，𝐴𝐷=√3，则△𝐴𝐵𝐶的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定【变式2-3】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴1𝐵1𝐶1中，若cos𝐴=sin𝐴1，cos𝐵=sin𝐵1，cos𝐶=sin𝐶1则（）A．△𝐴𝐵𝐶与△𝐴1𝐵1𝐶1均是锐角三角形B．△𝐴𝐵𝐶与△𝐴1𝐵1𝐶1均是钝角三角形C．△𝐴𝐵𝐶是钝角三角形，△𝐴1𝐵1𝐶1是锐角三角形D．△𝐴𝐵𝐶是锐角三角形，△𝐴1𝐵1𝐶1是钝角三角形【题型3正弦定理判定三角形解的个数】【例3】（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在△𝐴𝐵𝐶中，cos𝐴=1213，sin𝐵=𝑚，若角𝐶有唯一解，则实数𝑚的取值范围是（）A．(513,1)B．[513,1]C．[1213,1]∪{513}D．(0,513]∪{1}【变式3-1】（2023下·河南开封·高一校联考期末）在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐.已知𝑎=2√2,𝑏=4,𝐴=𝜋6，则此三角形（）A．无解B．有一解C．有两解D．解的个数不确定【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴、𝐵、𝐶所对的边分别为𝑎、𝑏、𝑐，不解三角形，确定下列判断正确的是（）A．𝐵=60°，𝑐=4，𝑏=5，有两解B．𝐵=60°，𝑐=4，𝑏=3.9，有一解C．𝐵=60°，𝑐=4，𝑏=3，有一解D．𝐵=60°，𝑐=4，𝑏=2，无解【变式3-3】（2023·贵州·统考模拟预测）△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别是𝑎,𝑏,𝑐，𝐴=60°，𝑎=√3.若这个三角形有两解，则𝑏的取值范围是（）A．√3𝑏≤2B．√3𝑏2C．1𝑏2√3D．1𝑏≤2【题型4证明三角形中的恒等式或不等式】【例4】（2023·全国·高三专题练习）在△𝐴𝐵𝐶中，2√3cos2𝐵2+2sin𝐵2cos𝐵2=√3.(1)求𝐵的大小；(2)若√3(𝑎+𝑐)=2𝑏，证明：𝑎=𝑐.【变式4-1】（2023下·北京·高一校考期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且𝑐−𝑏𝑎=sin𝐴+sin𝐵sin𝐶+sin𝐵.(1)求角C的大小；(2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.（i）求证:𝐴𝐷𝐵𝐷=𝐴𝐶𝐵𝐶；（ii）若𝑎=2，𝑐=√19，求CD的长.【变式4-2】（2023·高一课时练习）如图，已知△ABC内有一点P，满足∠𝑃𝐴𝐵=∠𝑃𝐵𝐶=∠𝑃𝐶𝐴=𝛼．(1)证明：𝑃𝐵sin𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵sin𝛼．(2)若∠𝐴𝐵𝐶=90∘，𝐴𝐵=𝐵𝐶=1，求PC．【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知△𝐴𝐵𝐶的外心为𝑂，𝑀,𝑁为线段𝐴𝐵,𝐴𝐶上的两点，且𝑂恰为𝑀𝑁中点.(1)证明：|𝐴𝑀|⋅|𝑀𝐵|=|𝐴𝑁|⋅|𝑁𝐶|(2)若|𝐴𝑂|=√3，|𝑂𝑀|=1，求𝑆△𝐴𝑀𝑁𝑆△𝐴𝐵𝐶的最大值.【题型5求三角形（四边形）的面积】【例5】（2023·湖南永州·统考一模）在△𝐴𝐵𝐶中，设𝐴,𝐵,𝐶所对的边分别为𝑎,𝑏,𝑐，且满足𝑐cos𝐴−𝑎cos𝐶=𝑎+𝑏．(1)求角𝐶；(2)若𝑐=5,△𝐴𝐵𝐶的内切圆半径𝑟=√34，求△𝐴𝐵𝐶的面积．【变式5-1】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知△𝐴𝐵𝐶的三个内角分别为𝐴、𝐵、𝐶，其对边分别为𝑎、𝑏、𝑐，若2𝑐−𝑎𝑏+cos𝐶=tan𝐵sin𝐶．(1)求角𝐵的值；(2)若𝑏=2，求△𝐴𝐵𝐶面积𝑆的最大值．【变式5