专题5.2 平面向量的数量积及其应用【七大题型】（举一反三）（新高考专用）（原卷版）

专题5.2平面向量的数量积及其应用【七大题型】【新高考专用】【题型1平面向量的数量积】...............................................................................................................................2【题型2平面向量夹角问题】...............................................................................................................................3【题型3平面向量的模】.......................................................................................................................................4【题型4平面向量的垂直问题】...........................................................................................................................4【题型5向量数量积的坐标运算】.......................................................................................................................5【题型6向量数量积的综合应用】.......................................................................................................................5【题型7向量数量积与解三角形综合】...............................................................................................................61、平面向量的数量积及其应用平面向量是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来分析，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，其中平面向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识是高考的重点、热点内容，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的数量积、数量积的坐标表示的掌握，能灵活运用定义法、坐标法和基底法解决常见的数量积有关问题.【知识点1平面向量数量积的解题方法】1.平面向量数量积的两种运算方法(1)基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.【知识点2数量积的两大应用】1.夹角与垂直根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.向量的模的求解思路：(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；(2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【知识点3向量数量积综合应用的方法和思想】1.向量数量积综合应用的三大解题方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.【知识点4极化恒等式】1.极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)ababab.证明：不妨设,ABaADb，则CAab，DBab，22222C2ACAabaabb①，222222DBDBabaabb②，①②两式相加得：22222222ACDBabABAD.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：2214abab————极化恒等式平行四边形模式：2214abACDB.(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．【题型1平面向量的数量积】【例1】（2023·广东东莞·东莞市东华高级中学校考一模）在△𝐴𝐵𝐶中，|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=4，|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=3，|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|，则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．−16B．16C．−9D．9【变式1-1】（2023·天津红桥·统考二模）已知菱形ABCD的边长为2，∠𝐵𝐴𝐷=120°，点E在边BC上，𝐵𝐶=3𝐵𝐸，若G为线段DC上的动点，则𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为（）A．2B．83C．103D．4【变式1-2】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知平面向量𝑎与𝑏⃗的夹角为45∘,𝑎⋅𝑏⃗=2，且|𝑎|=2，则(𝑎→−𝑏→)·(𝑎→+𝑏→)=（）A．−2√2B．-2C．2D．2√2【变式1-3】（2023下·广东揭阳·高三校考阶段练习）如图所示，边长为2的正△𝐴𝐵𝐶，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧𝐵𝐶⌢，点P在圆弧上运动，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围为（）A．[2,2√3]B．[2,5]C．[2,4]D．[4,3√3]【题型2平面向量夹角问题】【例2】（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知向量𝑎，𝑏⃗，𝑐满足|𝑎|=|𝑏⃗|=|𝑐|=3，且𝑎+𝑏⃗+23𝑐=0，则cos𝑎−𝑏⃗,𝑏⃗=（）A．−2√23B．−13C．13D．2√23【变式2-1】（2023·全国·模拟预测）已知单位向量𝑒1⃗⃗⃗，𝑒2⃗⃗⃗的夹角为60°，向量𝑎=−2𝑒1⃗⃗⃗+3𝑒2⃗⃗⃗，𝑏⃗=2𝑚𝑒1⃗⃗⃗−2𝑒2⃗⃗⃗，𝑚∈𝑍，向量𝑎，𝑏⃗的夹角的余弦值为−√217，则𝑚=（）A．1B．−4C．2D．−5【变式2-2】（2023·全国·学军中学校联考二模）𝑂为平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷外一点，𝑂𝐴=√3,𝑂𝐵=3,𝑂𝐶=2,∠𝐴𝑂𝐵=𝜋6,∠𝐵𝑂𝐶=𝜋3,∠𝐴𝑂𝐶=𝜋2，则向量𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗与向量𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为（）A．5𝜋6B．2𝜋3C．𝜋3D．𝜋6【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量𝑎=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，𝑏⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝑐=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，满足4𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=1−|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|2，4𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=1−|𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2，则向量𝑎−4𝑏⃗与𝑐−2𝑏⃗所成夹角的最大值是（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【题型3平面向量的模】【例3】（2023·云南昭通·校考模拟预测）已知|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=3,|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2,|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=6,则|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=（）A．4B．√10C．10D．16【变式3-1】（2023·河北张家口·统考一模）已知向量𝑎，𝑏⃗，𝑐都是单位向量，若(𝑎−𝑐)2+(𝑏⃗−𝑐)2=3，则|𝑎−𝑏⃗|的最大值为（）A．154B．2C．√152D．√3【变式3-2】（2023·浙江·模拟预测）已知平面向量𝑎,𝑏⃗的夹角为π3,|𝑎→|=2,|𝑏→|=1，若(𝑎+𝜆𝑏⃗)⊥𝑏⃗，则|𝑎+𝜆𝑏⃗|=（）A．√3B．2√3C．√2D．2√2【变式3-3】（2023下·浙江·高二学业考试）已知平面向量𝑎、𝑏⃗满足|𝑎|=2|𝑎−𝑏⃗|,|𝑏⃗|=3，则|3𝑎−2𝑏⃗|+|𝑎−2𝑏⃗|的最大值是（）A．4√10B．12C．8√2D．2+6√3【题型4平面向量的垂直问题】【例4】（2023·新疆·校联考二模）平面内三个单位向量𝑎，𝑏⃗，𝑐，满足𝑎+𝑏⃗+𝜆𝑐=0⃗，若𝑎⊥𝑏⃗，则𝜆=（）A．−2B．±2C．2D．±√2【变式4-1】（2023·天津和平·统考三模）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=√3,𝐴𝐶=√2,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，若𝑀𝑁⊥𝐵𝐶，则cos𝐴的值为（）A．√66B．√306C．√63D．√33【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知向量𝑎=(−1,−2)，𝑏⃗=(4,−2)，若(𝑎−𝜆𝑏⃗)⊥(𝑎+𝜇𝑏⃗)，则（）A．4𝜆𝜇=1B．4𝜆𝜇=−1C．4(𝜆+𝜇)=1D．4(𝜆+𝜇)=−1【变式4-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量𝑎,𝑏⃗的夹角为120∘，且|𝑎|,|𝑏⃗|是函数𝑓(𝑥)=𝑥2−5𝑥+6的两个零点.若(𝑎+𝜆𝑏⃗)⊥𝑎(𝜆2)，则𝜆=（）A．3B．4C．5D．6【题型5向量数量积的坐标运算】【例5】（2023·四川雅安·统考一模）已知向量𝑎=(1,3),𝑏⃗=(−2,−1)，则(𝑎+𝑏⃗)⋅(2𝑎−𝑏⃗)=（）A．10B．18C．(−7,8)D．(−4,14)【变式5-1】（2023·河南·统考三模）已知𝑎=(−2,6)，𝑏⃗=(4,𝜆)，若𝑎⊥(𝑎−𝑏⃗)，则向量𝑎,𝑏⃗的夹角的余弦值为（）A．−√22B．√22C．−√32D．√32【变式5-2】（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）已知平面向量𝑎=(2√55,√55)，𝑏⃗为单位向量，且(𝑎+2𝑏⃗)⊥(𝑎−𝑏⃗)，则向量𝑏⃗在向量𝑎上的投影向量的坐标为（）A．(−2√55,−√55)B．(2√55,√55)C．(2√55,−√55)D．(−2√55,√55)【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）已知向量𝑎=(𝑥,1)，𝑏⃗=(2,𝑦)，𝑐=(𝑥,𝑦).若(𝑎+𝑏⃗)⊥(𝑎−𝑏⃗)，且𝑎//𝑏⃗，则|𝑐|=（）A．√2B．√3C．√5D．√6【题型6向量数量积的综合应用】【例6】（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知边长为2的菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐹为𝐵𝐷上一动点，点𝐸满足𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−23，则𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⋅(𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗+2𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗)的最小值为（）A．−2B．−4C．−15225D．−7312【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）在直角梯形ABCD中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，𝐴𝐵=3，𝐴𝐷=𝐶𝐷=2，M是CD的中点，N在BC上，且𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则cos⟨𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩=（）A．−3√1010B．−√1010C．√1010D．3√1010【变式6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知△𝐴�