重难点05 导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】（举一反三）（新高考专用）（原卷版）

重难点05导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】【新高考专用】【题型1函数切线问题】.......................................................................................................................................3【题型2导数中函数的单调性问题】...................................................................................................................3【题型3导数中函数的极值问题】.......................................................................................................................4【题型4导数中函数的最值问题】.......................................................................................................................4【题型5函数零点（方程根）个数问题】............................................................................................................5【题型6利用导数解不等式】...............................................................................................................................6【题型7导数中的不等式恒成立问题】...............................................................................................................6【题型8任意存在性问题】...................................................................................................................................6【题型9函数零点嵌套问题】...............................................................................................................................7【题型10双变量问题】.........................................................................................................................................8导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数的极值和最值问题等，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想.从近三年的高考情况来看，导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题，解题时要灵活求解．【知识点1切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③将已知条件代入②中的切线方程求解.【知识点2导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点3函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.2.根据函数极值求参数的一般思路：已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.3.利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a,b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【知识点4导数的综合应用】1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略(1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．(2)已知函数零点个数求参数的常用方法①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，利用导数来求解．【题型1函数切线问题】【例1】（2023·全国·模拟预测）若曲线𝑦=(1−𝑥)e𝑥有两条过点𝐴(𝑎,0)的切线，则𝑎的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(3,+∞)B．(−3,1)C．(−∞,−3)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)【变式1-1】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=1e𝑥−1，则曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(−1,𝑓(−1))处的切线方程为（）A．e𝑥+𝑦+1=0B．e𝑥−𝑦+1=0C．e𝑥+𝑦−1=0D．e𝑥−𝑦−1=0【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若直线𝑦=𝑘𝑥与曲线𝑦=ln𝑥相切，则𝑘=（）A．1e2B．2e2C．1eD．2e【变式1-3】（2023·四川凉山·统考一模）函数𝑓(𝑥)=12𝑥2+𝑎ln𝑥在区间(1,2)的图象上存在两条相互垂直的切线，则𝑎的取值范围为（）A．(−2,1)B．(−2,−1)C．(−2,0)D．(−3,−2)【题型2导数中函数的单调性问题】【例2】（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是（）A．𝑦=1𝑥2B．𝑦=e−2𝑥C．𝑦=−𝑥2+1D．𝑦=lg|𝑥|【变式2-1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数𝑓(𝑥)=2(𝑥−1)e𝑥−𝑥2−𝑎𝑥在𝑅上单调递增，则𝑎的最大值是（）A．0B．1eC．eD．3【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知𝑥=ln56，𝑦=2425ln45，𝑧=−16，则（）A．𝑦𝑥𝑧B．𝑦𝑧𝑥C．𝑧𝑥𝑦D．𝑥𝑦𝑧【变式2-3】（2023·河南·模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=e𝑥(𝑥+𝑎)𝑥在(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0,+∞)B．(−∞,−4]C．(−∞,−4]∪[0,+∞)D．[−4,0]【题型3导数中函数的极值问题】【例3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−2𝑎𝑥2+𝑎2𝑥+1在𝑥=1处有极小值，则𝑎的值为（）A．1B．3C．1或3D．−1或3【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）函数𝑓(𝑥)=2𝑥−tan𝑥−π在区间(−π2,π2)的极大值、极小值分别为（）A．π2+1，−π2+1B．−π2+1，−3π2+1C．3π2−1，−π2+1D．−π2−1，−3π2+1【变式3-2】（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数𝑓(𝑥)=e𝑥+𝑥22−ln𝑥的极值点为𝑥1，函数ℎ(𝑥)=ln𝑥2𝑥的最大值为𝑥2，则（）A．𝑥1𝑥2B．𝑥2𝑥1C．𝑥1≥𝑥2D．𝑥2≥𝑥1【变式3-3】（2023·广东广州·广州校考模拟预测）设函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+π5)(𝜔0)，已知𝑓(𝑥)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论错误的是（）A．𝜔的取值范围是[125,2910)B．𝑓(𝑥)在(0,π10)单调递增C．若𝑥=3π25是𝑓(𝑥)在(0,2π)上的第一个极值点，则𝜔=165；D．若𝑥=3π25是𝑓(𝑥)在(0,2π)上的第一个极值点，𝑦=−52𝑥+4π5是𝑓(𝑥)的切线【题型4导数中函数的最值问题】【例4】（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数𝑓(𝑥)=𝑥2+(𝑎−1)𝑥−3ln𝑥在(1,2)内有最小值，则实数a的取值范围为（）A．(−32,2)B．[−32,2]C．(−43,2)D．(−43,1]【变式4-1】（2023·广西南宁·统考模拟预测）若函数𝑓(𝑥)=2𝑥3−𝑎𝑥2+1(𝑎∈R)在(0,+∞)内有且仅有一个零点，则𝑓(𝑥)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为（）A．1B．−4C．−3D．5【变式4-2】（2023·广东湛江·校考模拟预测）已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥3+(𝑎−3)𝑥+1在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（）A．(-e，2)B．(-e，1-e