专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题（练习）（原卷版）

专题12正余弦定理妙解三角形问题和最值问题目录01倍长定比分线模型...........................................................................................................................202倍角定理..........................................................................................................................................303角平分线模型...................................................................................................................................404隐圆问题..........................................................................................................................................505正切比值与和差问题.......................................................................................................................606四边形定值和最值...........................................................................................................................707边角特殊，构建坐标系.................................................................................................................1008利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题........................................................1109利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围...........................................................................1310三角形中的几何计算.....................................................................................................................1611三角形的形状判定.........................................................................................................................1801倍长定比分线模型1．（2023·四川成都·统考一模）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且π,2,3BABM是BC的中点，23AM，则AC，cosMAC.2．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）在①33cossinbcAaC，②sin-sinsin-sinACABbac，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足____．(1)求C；(2)若ABC的面积为3,D在边AC上，且13CDCA，4ACBC，求BD的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．3．（2023·辽宁·高三校联考期末）在①33cossinbcAaC，②1tan12tanaCbB，③sinsinsinsinACABbac，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．(1)求C；(2)若△ABC的面积为3，D在边AC上，且CD=13CA，求BD的最小值．4．（2023·江苏南京·高三统考期末）如图，设ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，AD为BC边上的中线，已知3bc，222sin8sin2cossinAabcabCabAC，21cos7BAD．(1)求边b、c的长度；(2)求ABC的面积；(3)点G为AD上一点，13AGAD，过点G的直线与边AB、AC（不含端点）分别交于E、F．若56AGEF，求AEFABCSS的值．02倍角定理5．（2023·河南·高三校联考阶段练习）从①2222cos12cosbcabcBC；②22cbab；③cossincossincossincosCBCBBCBB，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题．在锐角ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且________．(1)证明：2CB；(2)求2cos4sinsinBBC的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．6．（2023·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，22acbc．(1)证明：2AC；(2)若2a，且ABC为锐角三角形，求2bc的取值范围．7．（2023·湖南·高三校联考期末）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsinBCAbc，且bc.(1)证明：2abc；(2)若ABC为锐角三角形，且2BC，求a的取值范围.03角平分线模型8．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）记ABC的内角,,ABC的对边分别为a，b，c，已知cossin11cos2sin2BBCC．(1)求角A和角C之间的等式关系；(2)若cos0C，BD为CBA的角平分线，且2BD，ABC的面积为233，求c的长．9．（2023·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）在ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且coscos2cosbAaBcA(1)求角A的值；(2)若sin3sinBC，BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．10．（2023·河南·模拟预测）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，ABC的面积记为S，已知3sin0cosScCaA，sin3sinBC．(1)求A；(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．11．（2023•甲卷）在ABC中，60BAC，2AB，6BC，D为BC上一点，AD为BAC的平分线，则AD．12．（2023·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知π2sin6bcaC．(1)求A；(2)若23a，32BACA，BAC的角平分线交BC于点D，求AD的长．13．（2023·四川绵阳·统考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c．已知sinsin22ACBCab，7a．(1)求边b的长；(2)延长BC至D，使得:7:5BCCD，连接AD．已知ADB为锐角，且它的角平分线与AB交于点E，若ACD外接圆半径为733．求DE长．04隐圆问题14．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（0k且1k）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有ABC，6AC，sin2sinCA，则当ABC的面积最大时，它的内切圆的半径为.15．（2023·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考阶段练习）阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（0k且1k）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC，16,sinsin2BCBC，当ABC的面积最大时，则AC的长为.16．（2023·四川·校联考二模）阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是“指平面内到两定点的距离的比值为常数0,1的动点轨迹”，设ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，2的一个阿氏圆上，且3C，ABC的面积为32，则c.17．（2023·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）材料一：已知三角形三边长分别为,,abc，则三角形的面积为Sppapbpc，其中2abcp.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点12,FF的距离的和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知ABC中，6,10BCABAC，则ABC面积的最大值为（）A．6B．10C．12D．205正切比值与和差问题18．（2023·江苏南京·高三金陵中学校考期中）已知△ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为△ABC外接圆半径．（1）若R＝1，且满足222sinsinsinsinsintanBCBCAA，求22bc的取值范围；（2）若2222cosbcaRAa，求tantantanABC的最小值．19．（多选题）（2023·湖北咸宁·高三统考期末）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2cosCacB，1b，1123tantanAC，则（）A．1acB．3BC．ABC的面积为312D．ABC的周长为3120．（2023·湖北·统考一模）锐角ABC中，角A所对的边为a，ABC的面积24aS，给出以下结论：①sin2sinsinABC；②tantan2tantanBCBC；③tantantantantantanABCABC；④tantantanABC有最小值8.其中结论正确的是A．1B．2C．3D．421．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足(2)acBABCcCBCA．(1)求角B的大小；(2)若tantan4tantanBBAC，求sinsinAC的值．06四边形定值和最值22．（2023·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）广州市从化区政府拟在云岭湖建一个旅游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界，沿线段AB，BC，CD，DA建一个观景长廊，其中A，B，C，D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭，且它们关于直线AC对称，在湖面建一条观景桥APC．观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设ABC．(1)当60时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；(2)若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时的值；若没有，请说明理由．23．（2023