专题14 立体几何常见压轴小题全归纳（练习）（原卷版）

专题14立体几何常见压轴小题全归纳目录01球与截面面积问题...........................................................................................................................102体积、面积、周长、角度、距离定值问题.....................................................................................203体积、面积、周长、距离最值与范围问题.....................................................................................404立体几何中的交线问题...................................................................................................................505空间线段以及线段之和最值问题....................................................................................................606空间角问题......................................................................................................................................707轨迹问题..........................................................................................................................................808以立体几何为载体的情境题............................................................................................................909翻折问题........................................................................................................................................1001球与截面面积问题1．（2023·浙江宁波·统考一模）已知二面角PABC--的大小为3π4，球O与直线AB相切，且平面PAB、平面ABC截球O的两个截面圆的半径分别为1、2，则球O半径的最大可能值为（）A．2B．22C．3D．102．（2023·海南海口·海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，21,OO为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆1O的一条直径，若球的半径2r，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（）A．2πB．13π5C．14π5D．16π53．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥ABCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，3BC，2AB，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（）A．3π4B．2π3C．π2D．π44．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在正方体1111ABCDABCD中，2,,ABMN分别为,ADBC的中点，该正方体的外接球为球O，则平面1AMN截球O得到的截面圆的面积为（）A．6π5B．7π5C．12π5D．14π502体积、面积、周长、角度、距离定值问题5．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱111ABCABC中，11ABAA，点P满足1BPBCBB，其中[0，1]，[0，1]，则()A．当1时，△1ABP的周长为定值B．当1时，三棱锥1PABC的体积为定值C．当12时，有且仅有一个点P，使得1APBPD．当12时，有且仅有一个点P，使得1AB平面1ABP6．（2023·全国·高三专题练习）正三棱柱111ABCABC的各条棱的长度均相等，D为1AA的中点，M，N分别是线段1BB和线段1CC上的动点(含端点)，且满足1BMCN，当M，N运动时，下列结论正确的是（）A．在DMN内总存在与平面ABC平行的线段B．平面DMN平面11BCCBC．三棱锥ADMN的体积为定值D．DMN可能为直角三角形7．（2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，P为线段11BD上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（）A．三棱锥11ABDC外接球表面积为3B．三棱锥1PABD的体积为定值C．过点P平行于平面1ABD的平面被正方体1111ABCDABCD截得的多边形的面积为3D．直线1PA与平面1ABD所成角的正弦值的范围为36,338．（2023·广东实验中学高一期中）已知正四面体ABCD的棱长为3，其外接球的球心为O．点E满足01AEAB，过点E作平面平行于AC和BD，设分别与该正四面体的棱BC、CD、DA相交于点F、G、H，则（）A．四边形EFGH的周长为定值6B．当12时，四边形EFGH为正方形C．当13时，截球O所得截面的周长为13D．0,1，使得四边形EFGH为等腰梯形9．（2023·江苏苏州·模拟预测）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点P满足1DPDDDA，[0,1]，[0,1]u，则（）A．当时，1BPACB．当12时，三棱锥11CPBC的体积为定值C．当1时，PCPB的最小值为33D．当221时，存在唯一的点P，使得点P到AB的距离等于到1DD的距离03体积、面积、周长、距离最值与范围问题10．（2022•乙卷）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A．13B．12C．33D．2211．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36，且333l剟，则该正四棱锥体积的取值范围是()A．[18，81]4B．27[4，81]4C．27[4，64]3D．[18，27]12．（2023·四川省内江市第六中学高二期中）已知四面体ABCD的所有棱长均为2，,MN分别为棱,ADBC的中点，F为棱AB上异于,AB的动点．有下列结论：①线段MN的长度为1；②点C到面MFN的距离范围为20,2；③FMN周长的最小值为21；④MFN的余弦值的取值范围为30,3．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．413．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为2的正方体1111ABCDABCD，棱1DD中点为M，动点P、Q、R分别满足：点P到异面直线BC、11CD的距离相等，点Q使得异面直线1AQ、BC所成角正弦值为定值2121，点R使得134ARB．当动点P、Q两点恰好在正方体侧面11CDDC内时，则多面体1RMPCQ体积最小值为（）A．5212B．24C．22D．2604立体几何中的交线问题14．（2023·四川成都·高三校联考期末）在正方体1111ABCDABCD中，E为线段AD的中点，设平面11ABC与平面1CCE的交线为m，则直线m与AC所成角的余弦值为（）A．12B．32C．105D．25515．（2023·河北保定·高三统考期末）已知三棱锥DABC的所有棱长均为2，以BD为直径的球面与ABC的交线为L，则交线L的长度为（）A．23π9B．43π9C．26π9D．46π916．（2023·安徽·统考一模）安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体1111ABCDABCD.已知该正方体中，点,EF分别是棱11,AACC的中点，过1,,DEF三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线1AD所成角为（）A．π3B．π6C．π4D．π205空间线段以及线段之和最值问题17．（2023·河北·高一校联考期末）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA底面ABCD，42PA，则四棱锥PABCD外接球表面积为；若点Q是线段AC上的动点，则PQQB的最小值为．18．（2023·浙江绍兴·高一统考期末）直三棱柱111ABCABC-中，2B，11ABBBBC，P、Q分别为线段1AC、1AA的动点，则1BPQ△周长的最小值是.19．（2023·广西玉林·统考二模）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑PABC中，PA平面ABC，ABBC，AB＝3，5BC，PA＝4，D，E分别为棱PC，PB上一点，则AE＋DE的最小值为．20．（2023·北京门头沟·统考一模）在正方体1111ABCDABCD中，棱长为1，已知点P、Q分别是线段1AD、1AC上的动点（不含端点）.①PQ与1BC垂直；②直线PQ与直线CD不可能平行；③二面角PACQ不可能为定值；④则PQQC的最小值是43.其中所有正确结论的序号是.06空间角问题21．（2022•浙江）如图，已知正三棱柱111ABCABC，1ACAA，E，F分别是棱BC，11AC上的点．记EF与1AA所成的角为，EF与平面ABC所成的角为，二面角FBCA的平面角为，则()A．剟B．剟C．剟D．剟22．（2022•甲卷）在长方体1111ABCDABCD中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30，则()A．2ABADB．AB与平面11ABCD所成的角为30C．1ACCBD．1BD与平面11BBCC所成的角为4523．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图，斜三棱柱111ABCABC中，底面ABC是正三角形，,,EFG分别是侧棱111,,AABBCC上的点，且AECGBF，设直线,CACB与平面EFG所成的角分别为,，平面EFG与底面ABC所成的锐二面角为，则（）A．sinsinsin,coscoscosB．sinsinsin,coscoscosC．sinsinsin,coscoscosD．sinsinsin,coscoscos24．（2023·浙江·高三专题练习）在三棱锥PABC中，顶点P在底面的射影为ABC的垂心O（O在ABC内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为1，2，若PAMPBM，则下列说法错误的是（）A．若12，则ACBCB．若12，则121tantan2C．可能值为6D．当取值最大时，1225．（2023·全国·高二课时练习）已知正方体ABCDABCD的棱长为3，E为棱AB上的靠近点B的三等分点，点P在侧面CCDD上运动，当平面BEP与平面ABCD和平面CCDD所成的角相等时，则DP的最小值为（）A．3105B．31010C．91010D．7101007轨迹问题26．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体ABCDAB