专题10 数列不等式的放缩问题 （7大核心考点）（讲义）（原卷版）

专题10数列不等式的放缩问题【目录】...............................................................................................................................................1................................................................................................................................................2...............................................................................................................................................2...............................................................................................................................................4...............................................................................................................................................6考点一：先求和后放缩................................................................................................................................................6考点二：裂项放缩........................................................................................................................................................7考点三：等比放缩........................................................................................................................................................8考点四：1()()niiafn型不等式的证明.................................................................................................................9考点五：1()()niiafn型不等式的证明................................................................................................................10考点六：1()niiab型不等式的证明......................................................................................................................11考点七：1()niiab型不等式的证明......................................................................................................................12数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢．考点要求考题统计考情分析数列不等式2023年II卷第18题，12分2022年I卷第17题，10分2021年乙卷第19题，12分2021年II卷第17题，10分2021年浙江卷第20题，15分【命题预测】预测2024年高考，多以解答题形式出现，具体估计为：（1）导数压轴题第二问，利用导数证明数列不等式，难度较大．（2）数列解答题第二问，难度中等偏上，属综合性问题．常见放缩公式：（1）21111211nnnnnn；（2）2111111nnnnn；（3）2221441124412121nnnnn；（4）11!111112!!!11rrnrrnTCrnrnrnrrrrr；（5）1111111312231nnnn；（6）1222121nnnnnnnn；（7）122211nnnnnnn；（8）122222212111212122nnnnnnnnn；（9）1211222211212121212122212121nnnnnnnnnnnnn2n；（10）32111111111111nnnnnnnnnnnnn111111121111211nnnnnnnnnnn112211nnn；（11）32212221111nnnnnnnnnnnnn2122211nnnnnnn；（12）01211122221111111nnnnnCCCnnnn；（13）111121122121212121nnnnnnn．（14）21211112()2()nnnnnnnnn．（15）二项式定理①由于0112(1)21(11)11(3)2nnnnnnnnnnCCCCCn，于是12112(3)21(1)1nnnnnn②221(3)nnn，011012(11)221nnnnnnnnnnCCCCCCn；222(5)nnnn，0122101222(11)2222nnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCnn（16）糖水不等式若0,0bam，则amabmb；若0bam，则amabmb．1．（2023•新高考Ⅱ）已知{}na为等差数列，6,2,nnnanban为奇数为偶数，记nS，nT为{}na，{}nb的前n项和，432S，316T．（1）求{}na的通项公式；（2）证明：当5n时，nnTS．2．（2022•新高考Ⅰ）记nS为数列{}na的前n项和，已知11a，{}nnSa是公差为13的等差数列．（1）求{}na的通项公式；（2）证明：121112naaa．3．（2021•乙卷）设{}na是首项为1的等比数列，数列{}nb满足3nnnab，已知1a，23a，39a成等差数列．（1）求{}na和{}nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为{}na和{}nb的前n项和．证明：2nnST．4．（2021•天津）已知数列{}na是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{}nb是公比大于0的等比数列，14b，3248bb．（1）求数列{}na和{}nb的通项公式；（2）记21nnncbb，*nN．()i证明：22{}nncc是等比数列；()ii证明：121222(*)nkkkkkaanNcc．5．（2021•新高考Ⅱ）记nS是公差不为0的等差数列{}na的前n项和，若35aS，244aaS．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式na；（Ⅱ）求使nnSa成立的n的最小值．6．（2021•浙江）已知数列{}na的前n项和为nS，194a，且*1439()nnSSnN．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设数列{}nb满足*3(4)0()nnbnanN，记{}nb的前n项和为nT，若nnTb„对任意*nN恒成立，求实数的取值范围．考点一：先求和后放缩例1．（2023·广西玉林·校联考模拟预测）记nS为数列na的前n项和，已知12a，1nnaSn．(1)证明：当2n时，数列1na是等比数列，并求数列na的通项公式；(2)设1122nnnnbaa，数列nb的前n项和为nT，证明：13nT．例2．（2023·全国·模拟预测）已知nS是数列na的前n项和，112a，且111,,313nnnaSS成等比数列．(1)求数列na的通项公式．(2)设1nnnbSS，数列nb的前n项和为nT，证明：13nTa．例3．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列na的前n项和为nS，且满足21nnnSa．(1)证明：数列na为等比数列；(2)若11211,4nnnnaaabSS，数列nb的前n项和为nT，证明：213nT．例4．（2023·辽宁大连·高三校联考期中）已知nS为数列na的前n项和，12a，143nnnSSa，记2log13nnba.(1)求数列nb的通项公式；(2)已知111(1)nnnnnbcbb，记数列nc的前n项和为nT，求证：221nT.考点二：裂项放缩例5．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知数列na满足211233333nnnaaaaL，数列nb的首项为2，且满足11nnnbnb(1)求na和nb的通项公式(2)记集合*141,nnnnMnbbbnaN，若集合M的元素个数为2，求实数的取值范围．(3)设212nncb，证明：21114nkknc．例6．（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知数列na满足11a，23a，且2124nnnaan．(1)令21nnba，求nb；(2)记2122nnaa的前n和为nS，求证：1nS．例7．（2023·江西萍乡·高三统考期中）已知正项数列nanN中，23a，前n项和为nS，且__________.请在①②中任选一个条件填在题目横线上，再作答：①221122nnnnaaaa，②12nnnaS.(1)求数列na的通项公式；(2)设211nnba，数列nb的前n项和为nT，证明：12nT.考点三：等比放缩例8．（2023·山东青岛·高三山东省青岛第十九中学校考期中）数列na是等差数列，数列nb是等比数列，满足：11228,18abab，131230,69nnnbbbbb．(1)求数列na