专题11 平面向量小题全归类（13大核心考点）（讲义）（原卷版）

专题11平面向量小题全归类【目录】...............................................................................................................................................2................................................................................................................................................3...............................................................................................................................................3...............................................................................................................................................4...............................................................................................................................................4考点一：平面向量基本定理及其应用......................................................................................................................4考点二：平面向量共线的充要条件及其应用..........................................................................................................6考点三：平面向量的数量积.....................................................................................................................................6考点四：平面向量的模与夹角.................................................................................................................................7考点五：等和线问题................................................................................................................................................8考点六：极化恒等式................................................................................................................................................9考点七：矩形大法..................................................................................................................................................11考点八：平面向量范围与最值问题.......................................................................................................................12考点九：等差线、等商线问题...............................................................................................................................13考点十：奔驰定理与向量四心...............................................................................................................................15考点十一：阿波罗尼斯圆问题...............................................................................................................................17考点十二：平行四边形大法...................................................................................................................................18考点十三：向量对角线定理...................................................................................................................................19平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现．常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同平面几何、三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．近几年高考主要考查平面向量的坐标运算、模的最值、夹角等问题，与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等．考点要求考题统计考情分析平面向量基本定理及其应用2022年I卷第3题，5分【命题预测】预测2024年高考，高考仍将重点单独或与平面图形等知识结合重点平面向量数量积的定义、性质及应用平面向量数量积计算夹角、模、垂直等问题，难度为基础题、中档题或难题，题型为选择或填空．平面向量的数量积、模、夹角2023年北京卷第3题，4分2023年甲卷第4题，5分2023年I卷第3题，5分2023年II卷第13题，5分平面向量范围与最值2023年天津卷第14题，5分2022年北京卷第10题，4分2022年浙江卷第17题，4分2022年天津卷第14题，5分1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，总的思路有：（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．1．（2023•新高考Ⅰ）已知向量(1,1)a，(1,1)b．若()()abab，则()A．1B．1C．1D．12．（2022•新高考Ⅰ）在ABC中，点D在边AB上，2BDDA．记CAm，CDn，则(CB)A．32mnB．23mnC．32mnD．23mn3．（2022•北京）在ABC中，3AC，4BC，90C．P为ABC所在平面内的动点，且1PC，则PAPB的取值范围是()A．[5，3]B．[3，5]C．[6，4]D．[4，6]4．（2023•乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则(ECED)A．5B．3C．25D．55．（2023•甲卷）已知向量(3,1)a，(2,2)b，则cosab，(ab)A．117B．1717C．55D．2556．（2023•新高考Ⅱ）已知向量a，b满足||3ab，|||2|abab，则||b．7．（2023•天津）在ABC中，60A，||1BC，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设ABa，ACb，则AE可用a，b表示为；若13BFBC，则AEAF的最大值为．8．（2022•浙江）设点P在单位圆的内接正八边形128AAA的边12AA上，则222128PAPAPA的取值范围是．9．（2022•天津）在ABC中，CAa，CBb，D是AC中点，2CBBE，试用a，b表示DE为，若ABDE，则ACB的最大值为．10．（2022•甲卷）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且||1a，||3b，则(2)abb．11．（2022•上海）若平面向量||||||abc，且满足0ab，2ac，1bc，则．考点一：平面向量基本定理及其应用1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；（3）运用法则找关系；（4）化简结果．例1．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在ABC中，AD为BC边上的中线，2AEED，则BE（）A．5166ABACB．1566ABACC．5166ABACD．1566ABAC例2．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）ABC是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若3AFEF，3AF，且=AFABAC，则（）.A．1519B．619C．919D．41919例3．（2023·湖南·校联考模拟预测）在ABC中，D是边AB上一点，且2BDAD，点E是CD的中点.设CAa，CBbuurr，则AE（）A．1136abB．1136abC．2136abD．2136ab例4．（2023·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期中）如图，在ABC中，14ADAB，12AEAC，BE和CD相交于点F，则向量AF等于（）A．1277ABACB．1377ABACC．121414ABACD．131414ABAC考点二：平面向量共线的充要条件及其应用1、平面向量共线定理：已知OAOBOC，若1，则,,ABC三点共线；反之亦然．2、两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若向量11,axy，22,bxy，则//ab的充要条件是12210xyxy；（2）若//(0)abb，则ab．例5．（2023·湖北·高三随州市曾都区第一中学校联考期中）在ABC中，13BDBC，E是线段AD上的动点（与端点不重合），设CExCAyCB，则233xyxy的最小值是（）A．3B．1C．2D．4例6．（2023·