专题13 一网打尽外接球、内切球与棱切球问题 （14大核心考点）（讲义）（原卷版）

专题13一网打尽外接球、内切球与棱切球问题【目录】...............................................................................................................................................2................................................................................................................................................3...............................................................................................................................................4...............................................................................................................................................4...............................................................................................................................................5考点一：正方体、长方体外接球.............................................................................................................................5考点二：正四面体外接球........................................................................................................................................5考点三：对棱相等的三棱锥外接球.........................................................................................................................6考点四：直棱柱外接球............................................................................................................................................7考点五：直棱锥外接球............................................................................................................................................9考点六：正棱锥与侧棱相等模型...........................................................................................................................10考点七：侧棱为外接球直径模型...........................................................................................................................11考点八：共斜边拼接模型......................................................................................................................................12考点九：垂面模型..................................................................................................................................................13考点十：二面角模型..............................................................................................................................................14考点十一：坐标法..................................................................................................................................................15考点十二：圆锥圆柱圆台模型...............................................................................................................................16考点十三：锥体内切球..........................................................................................................................................18考点十四：棱切球..................................................................................................................................................18纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难度．考点要求考题统计考情分析外接球2022年乙卷第12题，5分2022年II卷第7题，5分2022年I卷第8题，5分2021年甲卷第11题，5分【命题预测】预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力．（2）热点是锥体内切球与棱切球问题．内切球2020年III卷第16题，5分棱切球2023年I卷第1题，5分1、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体PABC可以补形为正方体且正方体的棱长2PAa，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图41．（2022•乙卷）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A．13B．12C．33D．222．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．100B．128C．144D．1923．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36，且333l剟，则该正四棱锥体积的取值范围是()A．[18，81]4B．27[4，81]4C．27[4，64]3D．[18，27]4．（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为()A．3B．4C．9D．125．（2021•甲卷）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC，1ACBC，则三棱锥OABC的体积为()A．212B．312C．24D．346．（2023•甲卷）在正方体1111ABCDABCD中，4AB，O为1AC的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是．7．（2023•甲卷）在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为CD，11AB的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为．8．（2020•新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．考点一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．例1．（2023·四川·高三统考学业考试）若球的表面积为48π，则顶点均在该球球面上的正方体体积为（）A．256B．64C．27D．8例2．（2023·四川巴中·统考一模）已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为.例3．（2023·重庆渝北·高三重庆市南华中学校校考阶段练习）在长方体1111ABCDABCD中，6AB，23BC，14BB，则长方体外接球的表面积为．考点二：正四面体外接球如图，设正四面体ABCD的的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为22a，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为236224Raa，即正四面体外接球半径为64Ra．例4．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）已知正四面体PABC的外接球的体积为3π2，则该正四面体的棱长为（）A．1B．3C．2D．6例5．（2023·天津北辰·统考三模）中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（）A．46B．43C．26D．6例6．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知正四面体的各棱长均为3，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（）A．9πB．12πC．27π4D．27π2考点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD中，ABCDm，ACBDn，ADBCt，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为,,abc，则222222222bcmacnabt，三式相加可得222abc222,2mnt而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则22224abcR，所以2228mntR．例7．（2023·四川凉山·二模）在四面体A