专题15 立体几何解答题全归类（9大核心考点）（讲义）（原卷版）

专题15立体几何解答题全归类【目录】...............................................................................................................................................2................................................................................................................................................3...............................................................................................................................................3...............................................................................................................................................4...............................................................................................................................................7考点一：非常规空间几何体为载体.........................................................................................................................7考点二：立体几何探索性问题.................................................................................................................................8考点三：立体几何折叠问题...................................................................................................................................10考点四：立体几何作图问题...................................................................................................................................12考点五：立体几何建系繁琐问题...........................................................................................................................13考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题.................................................................................................15考点七：利用传统方法找几何关系建系................................................................................................................17考点八：空间中的点不好求...................................................................................................................................18考点九：创新定义..................................................................................................................................................20空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．考点要求考题统计考情分析线线角、二面角、线面角2023年II卷第20题，12分2023年北京卷第16题，13分2022年I卷第19题，12分2021年II卷第19题，12分【命题预测】预测2024年高考，多以解答题形式出现，高考仍将重点考查空间向量与立体几何，距离问题，异面直线夹角、线面角、二面角；解答题第一小题重点考查线线、线面、面面垂直的判定与性质，第二小问重点考查利用向量计算线面角或二面角，难度为中档题．距离问题2023年天津卷第17题，15分体积问题2023年乙卷第19题，12分2022年乙卷第18题，12分2021年上海卷第17题，14分探索性问题2023年I卷第18题，12分2021年甲卷第19题，12分2021年I卷第20题，12分2021年北京卷第17题，14分1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式sinhl，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．1．（2023•北京）如图，四面体PABC中，1PAABBC，3PC，PA平面ABC．（Ⅰ）求证：BC平面PAB；（Ⅱ）求二面角APCB的大小．2．（2023•天津）在三棱台111ABCABC中，若1AA平面ABC，ABAC，12ABACAA，111AC，M，N分别为BC，AB中点．（Ⅰ）求证：1//AN平面1CMA；（Ⅱ）求平面1CMA与平面11ACCA所成角的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面1CMA的距离．3．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱111ABCABC的体积为4，△1ABC的面积为22．（1）求A到平面1ABC的距离；（2）设D为1AC的中点，1AAAB，平面1ABC平面11ABBA，求二面角ABDC的正弦值．4．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点．（1）证明：OACD；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积．5．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若2AD，5QDQA，3QC．（Ⅰ）求证：平面QAD平面ABCD；（Ⅱ）求二面角BQDA的平面角的余弦值．6．（2023•乙卷）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，2AB，22BC，6PBPC，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BFAO．（1）求证：//EF平面ADO；（2）若120POF，求三棱锥PABC的体积．7．（2022•乙卷）如图，四面体ABCD中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED平面ACD；（2）设2ABBD，60ACB，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求三棱锥FABC的体积．考点一：非常规空间几何体为载体关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系．例1．（2023·上海虹口·高三统考期中）如图，在圆锥PO中，AB是底面的直径，且3PO＝，4AB＝，30BAC，M是BC的中点．(1)求证：平面PBC平面POM；(2)求二面角OPBC--的余弦值．例2．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）如图，圆台12OO的轴截面为等腰梯形11AACC，111224,ACAAACB为底面圆周上异于,AC的点.(1)在平面1BCC内，过1C作一条直线与平面1AAB平行，并说明理由；(2)若四棱锥11BAACC的体积为23，设平面1AAB平面1,CCBlQl，求CQ的最小值.例3．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）如图，已知四棱台1111ABCDABCD的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，14AA，且1AA底面ABCD，点,PQ分别在棱1DD、BC上·(1)若P是1DD的中点，证明：1ABPQ；(2)若//PQ平面11ABBA，且平面PQD与平面AQD的夹角的余弦值为49，求四面体ADPQ的体积．考点二：立体几何探索性问题与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．例4．（2023·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）等边三角形ABC的边长为3，点,DE分别是边,ABAC上的点，且满足12ADCEDBEA，如图甲，将ADEV沿DE折起到1ADE△的位置，使二面角1ADEB为直二面角，连接11,ABAC，如图乙.(1)求证：BD平面1ADE.(2)在线段BC上是否存在点P，使平面1PAE与平面1ABD所成的角为60？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由.例5．（2023·北京·高三汇文中学校考期中）如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E为棱BC的中点，F为棱CD上一点.(1)求直线1AC与平面11AEC所成角的正弦值；(2)求二面角11AACE的正弦值；(3)是否存在点F，使1//DF平面11AEC？若存在，求出DF的长度；若不存在，请说明理由.例6．（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）如图，在三棱台111ABCABC-中，若1AA平面1,,2ABCABACABACAA，111,ACN为AB中点，M为棱BC上一动点（不包含端点）.(1)若M为BC的中