微考点7-3 排列组合11种常见题型总结分析（11大题型）（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】微考点7-3排列组合11种常见题型总结分析（11大题型）题型一：特殊元素与特殊位置优待法解题思路：对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。【精选例题】【例1】从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）（A）280种（B）240种（C）180种（D）96种【答案】B【详解】解：先从除了甲乙剩余的4名志愿者中选1人从事翻译工作，有14C种，然后再从剩余的5名志愿者中选3个人从事另外三项工作，有35A种，所以一共有2403514AC种.故选：B．【例2】7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式．A．672B．864C．936D．1056【答案】D【分析】分甲站在每一排的两端和甲不站在每一排的两端这两种情况解答即可.【详解】当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有554A480种站排方式；当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有1142443CCA576种站排方式；故总共有4805761056种站排方式.故选：D．【例3】将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有种．（用数字作答）【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】50【分析】根据题意，分为三种情况：甲单独参加，甲和其中一人和甲和其中两人参加，结合排列组合的知识，即可求解.【详解】由题意，可分为三种情况：当甲单独参加A项活动，则有2232424222CCCA14A种安排方法；当甲和其中一人参加A项活动，则有122432CCA24种安排方法；当甲和其中两人参加A项活动，则有2242CA12种安排方法，所以不同的分配方法有14241250种不同的安排方法.故答案为：50.【题型专练】1．某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，则不同的选派方案有______种．【答案】600【详解】解：分两步，第一步，先选四名老师，又分两类，第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有2510C种不同的选法，第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有4615C种不同的选法，所以不同的选法有25种，第二步，四名老师去4个边远地区支教，有4424A种，所以共有2524600种，故答案为:6002．某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有种．【答案】90【分析】由分类加法计数原理分为两类，一个社区3人，剩下两个社区各1人和一个社区1人，剩下两个社区各2人，再按照分步乘法计数原理分别分析计算即可．【详解】由题意知可分为两类：第一类：一个社区3人，剩下两个社区各1人，当李医生、张医生2人都单独安排到一个社区时，有33A6种不同的安排方法；当李医生、张医生中有1人单独安排到一个社区时，有113223CCA24种不同的安排方法；【淘宝店铺：向阳百分百】第二类：一个社区1人，剩下两个社区各2人，当李医生、张医生中有1人单独安排到一个社区时，有113233CCA36种不同的安排方法；当李医生、张医生都不单独安排到一个社区时，有113223CCA24种不同的安排方法；综上可知，共有624362490（种），故答案为：903．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（）A．288B．336C．368D．412【答案】B【详解】当四位数不出现1时，排法有：114224CCA96种；当四位数出现一个1时，排法有：1142242CCA192种；当四位数出现两个1时，排法有：112224CCA48种；所以不同的四位数的个数共有：9619248336．故选：B．4．某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有种.【答案】92【分析】分三种情况，进行讨论，求出相应的选择数，相加后得到答案.【详解】①若既会英语，也会日语的2人均没有选中，此时只会英语的3人全部选中，只会日语的4人选择3人，共3334CC4种选择；②若既会英语，也会日语的2人选中1人，有12C种选择，此人去进行英语导游，则从只会英语的3人选择2人，只会日语的4人选择3人，有2334CC12种选择，此人去进行日语导游，则从只会英语的3人全部选中，只会日语的4人选择2人，有3234CC6种选择，此时共有12C12636种选择；③若既会英语，也会日语的2人均选中，2人均进行英语导游，则从只会英语的3人选择1人，只会日语的4人选择3人，【淘宝店铺：向阳百分百】有1334CC12种选择，2人均进行日语导游，则从只会英语的3人选择3人，只会日语的4人选择1人，有3134CC4种选择，2人有1人进行英语导游，1人进行日语导游，有22A2种选择，再从只会英语的3人选择2人，只会日语的4人选择2人，有2234CC18种选择，此时有21836种选择，所以若既会英语，也会日语的2人均选中，有1243652种选择，综上：共有4365292种选择.故答案为：92题型二：分类讨论思想解题思路：遇到情况比较复杂，我们可以通过分类讨论，分出几种情况，再用分类加法原理进行计算【精选例题】【例1】（2023全国卷乙卷真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A．120B．60C．30D．20【答案】B【详解】不妨记五名志愿者为,,,,abcde，假设a连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有24A12种方法，同理：,,,bcde连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260种.故选：B.【例2】（2023全国卷甲卷真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．【答案】64【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144116CC种；（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244CC24种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有2144CC24种；综上所述：不同的选课方案共有16242464种.故答案为：64.【例3】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况数（）A．60B．40C．30D．80【答案】A【详解】一，二，三等奖，三个人获得，共有3424A种；一，二，三等奖，有1人获得2张，【淘宝店铺：向阳百分百】1人获得1张，共有223436CA种，共有24+36=60种.故选：A.【题型专练】1.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）A．20种B．16种C．12种D．8种【答案】B【分析】分类讨论：乙丙及中间2人占据首四位、乙丙及中间2人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果.【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有22A种方法，排甲有12A种方法，剩余两个位置两人全排列有22A种排法，所以有212222AAA8种方法；②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，排乙丙有22A种方法，排甲有12A种方法，剩余两个位置两人全排列有22A种排法，所以有212222AAA8种方法；由分类加法计数原理可知，一共有8816+=种排法，故选：B.2．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有___种．【答案】1128【详解】根据题意，甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，分5种情况讨论：①甲在第二天值班，则丙可以安排在第一天和第三天，有2种情况，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有55A＝120种安排方式，此时有2×120＝240种安排方式，②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有55A＝120种安排方式，此时有1×120＝120种安排方式，③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有44A＝24种安排方式，此时有4×24＝96种安排方式，④甲在第四五六天值班，丙有2种安排方法，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有44A＝24种安排方式，此时有3×2×4×24＝576种安排方式，⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，【淘宝店铺：向阳百分百】有44A＝24种安排方式，此时有4×24＝96种安排方式；故有240+120+96+576+96＝1128种安排方式；故答案为：1128题型三：插空法（不相邻问题）解题思路：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可【例1】黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的a，b两段，使得长线段a与原线段ab的比等于短线段b与长线段a的比，即::aabba，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（）A．180B．210C．240D．360【答案】C【详解】先把6,1,8,9排列，然后选两个空档插入3，总方法为4245AC240．故选：C．【例2】把5件不同产品A，B，C，D，E摆成一排，则（）A．A与B相邻有48种摆法B．A与C相邻有48种摆法C．A，B相邻又A，C相邻，有12种摆法D．A与B相邻，且A与C不相邻有24种摆法【答案】ABC【详解】对于A选项：产品A与B相邻，把,AB作为一个元素有44A432124种方法，而A，B可交换位置，所以有442A48种摆法.故A选项符合题意.对于B选项：同A选项一样分析可知产品A与C相邻也有48种摆法.故B选项符合题意.对于C选项:当,AB相邻又满足,AC相邻，首先将产品,,ABC捆绑起来作为一个元素并把产品A放在产品B与C之间，注意到产品B与C可互换位置，所以首先排列,,ABC有22A212种摆法，把,,ABC组成的整体作为一个元素和剩下的两个元素,DE进行排列，又有33A3216种摆法，所以A，B相邻又A，C相邻，有3223AA2612种摆法.故C选项符合题意.对于D选项：由A选项可知A与B相邻有48种摆法，由C选项可知A，B相邻又A，C相邻有12种摆法，因此A与B相邻，且A与C不相邻有481236种摆法.故D选项不符合题意.故选：ABC.【例3】有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（）A．12B．48C．72D．