微考点7-2 递推方法计算概率与一维马尔科夫过程（数列与概率结合）（原卷版）

微考点7-2递推方法计算概率与一维马尔科夫过程（数列与概率结合）【考点分析】①转移概率：对于有限状态集合S，定义：)|(1,injnjiXXPP为从状态i到状态j的转移概率.②马尔可夫链：若ijinjniininjnPXXPXXXXPn)|(),,,|(101101，即未来状态1nX只受当前状态nX的影响，与之前的021,,,XXXnn无关.③完备事件组：如果样本空间中一组事件组},,{21nAAA符合下列两个条件：（1）njijiAAji,2,1,,,；（2）knkA1.则称},,{21nAAA是的一个完备事件组，也称是的一个分割.④全概率公式：设},,{21nAAA是一个完备事件组，则有)|()()(1knkkABPAPBP⑤一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻0t时，位于点)(Niix，下一个时刻，它将以概率或者（1),1,0(）向左或者向右平移一个单位.若记状态itX表示：在时刻t该点位于位置)(Niix，那么由全概率公式可得：)|()()|()()(1111111itititititititXXPXPXXPXPXP另一方面，由于)|(,)|(1111ititititXXPXXP，代入上式可得：11iiiPPP.进一步，我们假设在0x与),0(Nmmmx处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，1,00mPP.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a，原地不动，其概率为b，向右平移一个单位，其概率为c，那么根据全概率公式可得：11iiiicPbPaPP【精选例题】【例1】（2023·新高考1卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量iX服从两点分布，且110,1,2,,iiiPXPXqin，则11nniiiiEXq．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求EY．【例2】某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的3nn位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则为：每位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰有2个红球与1个白球，这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球，并将这个球放入第2个暗盒里，第2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里，依次类推，第n1位员工再从第n1个暗盒里面取出1个球并放入第n个暗盒里.第n位员工从第n个暗盒中取出1个球，游戏结束.若某员工取出的球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金500元.设第1iin位员工获得奖金为iX元.(1)求21000X的概率；(2)求iX的数学期望iEX，并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大.【例3】网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第*,89nnnN天进行有氧训练，则第1n天进行有氧训练的概率为59，第1n天进行无氧训练的概率为49；若运动员第n天进行无氧训练，则第1n天进行有氧训练的概率为79，第1n天进行无氧训练的概率为29．若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等．(1)封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为X，求X的分布列与数学期望；(2)封闭集训期间，记某运动员第n天进行有氧训练的概率为nP，求45P．【例4】甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．(1)若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率．(2)若规定两人起始分都为2分，记()Pi（0,1,2,3,4i）为甲累计总分为i时，甲最终获胜的概率，则(0)0,(4)1PP①求证(1)()PiPi（0,1,2,3i）为等比数列②求(2)P的值．【例5】某学校新校区在校园里边种植了一种漂亮的植物，会开出粉红色或黄色的花．这种植物第1代开粉红色花和黄色花的概率都是12，从第2代开始，若上一代开粉红色的花，则这一代开粉红色的花的概率是35，开黄色花的概率是25；若上一代开黄色的花，则这一代开粉红色的花的概率为15，开黄色花的概率为45．设第n代开粉红色花的概率为nP．(1)求第2代开黄色花的概率；(2)证明：111325niiiiPPP．【跟踪训练】1.有一个质地均匀的正方体骰子与一个有61个格子的矩形方格图，矩形方格图上从0，1，2，…，60依次标号.一个质点位于第0个方格中，现有如下游戏规则：先投掷骰子，若出现1点或2点，则质点前进1格，否则质点前进2格，每次投掷的结果互不影响.(1)求经过两次投掷后，质点位于第4个格子的概率；(2)若质点移动到第59个格子或第60个格子时，游戏结束，设质点移动到第n个格子的概率为np，求59p和60p的值.2.重庆南山风景秀丽，可以俯瞰渝中半岛，是徒步休闲的好去处.上南山的步道很多，目前有标识的步道共有18条.某徒步爱好者俱乐部发起一项活动，若挑战者连续12天每天完成一次徒步上南山(每天多次上山按一次计算)运动，即可获得活动大礼包.已知挑战者甲从11月1号起连续12天都徒步上南山一次，每次只在凉水井步道和清水溪步道中选一条上山.甲第一次选凉水井步道上山的概率为34，而前一次选择了凉水井步道，后一次继续选择凉水井步道的概率为14，前一次选择清水溪步道，后一次继续选择清水溪步道的概率为12，如此往复.设甲第n(n=1，2，…，12)天走凉水井步道上山的概率为nP.(1)求2P和nP；(2)求甲在这12天中选择走凉水井步道上山的概率小于选择清水溪步道上山概率的天数.3．有n个编号分别为1,2,,n的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，现从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，，依次进行．(1)求从第2个盒子中取到红球的概率；(2)求从第n个盒子中取到红球的概率；(3)设第n个盒子中红球的个数为X，X的期望值为()EX，求证：3()22EX．4.马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第1n次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第1,2,3,nnn次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行*Nnn次操作后，记甲盒子中黑球个数为nX，甲盒中恰有1个黑球的概率为na，恰有2个黑球的概率为nb.（1）求1X的分布列；（2）求数列na的通项公式；（3）求nX的期望.5.足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为nP，即11P．（1）求3P（直接写出结果即可）；（2）证明：数列14nP为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．6.（2019全国1卷）．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)ipi表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p，81p，11iiiipapbpcp(1,2,,7)i，其中(1)aPX，(0)bPX，(1)cPX．假设0.5，0.8．（i）证明：1{}iipp(0,1,2,,7)i为等比数列；（ii）求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性．1．王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：到校时间7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后乘地铁0.10.150.350.20.150.05乘汽车0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.）(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；(2)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为X，求EX；(3)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐地铁去学校.记nP为王老师第n天坐地铁去学校的概率，求nP的通项公式.2．现有甲、乙两个不透明盒子，甲盒子装有2个红球和2个白球，乙盒子装有4个白球，这些球的大小、形状、质地完全相同．在一次球交换过程中，从甲盒子与乙盒子中各随机选择1个球进行交换，重复n次这样的交换过程后，甲盒子里装有红球的个数为nX．(1)求2X的概率分布及数学期望；(2)求1nPX．3．某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客.为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有23的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加