微考点6-1 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】微考点6-1圆锥曲线中的非对称韦达定理问题（三大题型）在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似211222yxyx为定值的情形，通过直线代换可得：21211211212122222266yxkxxkxxxyxkxxkxxx，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：1212211212122211)()(xtmxkxxtmxkxtxyxtxyxxtyxtykkPBPA我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到12xx和12xx之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.具体办法：①联立方程后得到韦达定理：21212121)())(()()(xxtnxxtmtgxxtfxx代入之后进行代换消元解题.②利用点在椭圆方程上代换题型一：利用非对称韦达定理思想解决定点问题【精选例题】【例1】已知双曲线2222:1(0)3xyCaaa的左顶点为A，右焦点为F，P是直线:2alx上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．(1)证明：2APNNPF；(2)取1a，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析【分析】（1）过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则MNAF∥，结合圆的知识可得AMNF，【淘宝店铺：向阳百分百】MHHN，设点00,Nxy，则22002213xyaa，由2NFHN，可得2NFHN，即得AMNFMN（用双曲线的第二定义来说明，也可以），由相等弦长所对的圆心角相等，得APMMPNNPF，进而求解；（2）设直线PF的方程为2xmy，由题意可得33,,33m，联立方程组，结合韦达定理可得12yy，12yy，由题知，直线DR的方程为21211122yyyyxx，令0y，化简即可求解.【详解】（1）证明：过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则MNAF∥，连接AM，PM，NF．因为在圆P中，PHAFPHMN，，所以||||||||AMNFMHHN，．由题易知右焦点(2,0)Fa，设点00,Nxy，则22002213xyaa，整理得2220033yxa．因为2222220000000000223322||2||2222xayxaxaxaxaNFaaaaHNxxxx，所以||2||NFHN，所以||||||AMNFMN．【这里若学生用双曲线的第二定义来说明，也可以．见下：因为直线:2alx为双曲线2222:1(0)3xyCaaa的准线，根据双曲线的第二定义，可知||2||NFcHNa，即||2||NFHN，即得||||||AMNFMN．】在圆P中，由相等弦长所对的圆心角相等，得APMMPNNPF，所以2APNNPE．（2）由题知双曲线22:13yCx，渐近线为：33yx，右焦点为2,0F，直线PF的斜率不为0，设直线PF的方程为2xmy【淘宝店铺：向阳百分百】因为直线PF与C的左，右两支分别交于E，D两点，则33,,33m．设11222121,,,2DxyExyRyyy，，，联立方程组22213xmyyx，得22311290mymy，则121222129,3131myyyymm．由题知，直线DR的方程为21211122yyyyxx，令0y，得12112112211221212121211113122222242xyymyyymyyyyyyyyxyyyyyyyy21215544yyyy，所以直线DR过定点5,04.【跟踪训练】1.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点2,0A，3(1,)2B，M，N为椭圆E上关于x轴对称的两点（不与点B重合），1,0Q，直线MQ与椭圆E交于另一点C，直线QP垂直于直线NC，P为垂足．(1)求E的方程；(2)证明：（i）直线NC过定点，（ii）存在定点R，使PR为定值．【答案】(1)2214xy；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【分析】（1）设方程为221mxny0,0,mnmn，代入,AB点的坐标，得出方程组，求解即得.（2）（i）设MQ的方程为10xtyt，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出NC的方程为121112(yyyyxxxx，令0y，整理可得4x，即可得出定点；（ii）由已知可得QPPH，即可得出P的轨迹，得出答案.【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）设E的方程为221mxny0,0,mnmn，则41314mmn，解得141mn，所以E的方程为2214xy.（2）（i）依题意，直线MQ的斜率存在且不为0，设MQ的方程为10xtyt，设点11,Cxy，22,Mxy，则22,Nxy，由22144xtyxy消去x并整理得224230tyty，则2Δ16480t，12224tyyt，12234yyt，显然121223()tyyyy，直线NC的斜率1212NCyykxx，直线NC的方程为121112(yyyyxxxx，令0y，则112212111212yxxyxxyxxyyyy21211211ytytyyyy12121224tyyyyyy，所以直线NC恒过定点4,0.（ii）令直线NC过的定点4,0为点H，由0QPNC，P在NC上，得QPPH，则点P在以QH为直径的圆上，从而QH的中点5(,0)2R为定点，使PR为定值32.【点睛】思路点睛：设MQ的方程为10xtyt，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.进而整理化简，即可得出定点坐标.2.椭圆C:222210xyabab的一个焦点为1,0F，且过点31,2M．(1)求椭圆C的标准方程和离心率；(2)若过点2,03且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线6x上，且NP与x轴平行，求直线MP恒过的定点．【答案】(1)标准方程为C：22143xy，离心率为12；(2)10,03【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）法一：由题意可得2222211914cababc，解方程即可求出,,abc，可求出椭圆C的标准方程和离心率；法二：由椭圆的定义求出1a，再结合222bac求出b，可求出椭圆C的标准方程和离心率；（2）设方程为23xmy，11,Mxy，22,Nxy，联立直线MN方程和椭圆的方程可得121283myyyy，表示出直线MP方程，对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上，令0y，将121283myyyy代入化简即可得出答案.【详解】（1）法一：由题意2222211914cababc，可得222431abc，则椭圆C的标准方程为C：22143xy，离心率为12cea；法二：设椭圆的左焦点为1,0F，则由椭圆的定义知222233532111142222aMFMF，所以2a，又1c，得2223bac，则椭圆C的标准方程为C：22143xy，离心率为12cea；（2）因为直线MN过点2,03且斜率不为0，所以设直线MN方程为23xmy，11,Mxy，22,Nxy，则26,Py，联立2223143xmyxy，消去x得，223234403mymy，所以122122043432334myymyym，所以121283myyyy，直线MP方程为122166yyyyxx，由对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上，【淘宝店铺：向阳百分百】所以令0y，得212166yxxyy，且1123xmy，所以2112212221212121681668333363ymymyyyyyyxyyyyyy，可得103x，直线MP恒过的定点10,03．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点00,xy，常利用直线的点斜式方程或截距式ykxb来证明.题型二：利用非对称韦达定理思想解决斜率定值问题【精选例题】【例1】椭圆2222:1(0)xyCabab的长轴长为4，且椭圆C过点33,2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A、B为椭圆C的左、右顶点，过右焦点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N，直线AM与直线4x交于点P，记PA、PF、BN的斜率分别为1k、2k、3k，问132kkk是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由.【答案】(1)22:143xyC；(2)132kkk是定值2，理由见解析【分析】（1）先求出2a，将33,2代入求出23b，得到椭圆方程；（2）设直线MN：1xmy，联立椭圆方程，设1122,,,MxyNxy，得到两根之和，两根之积，表达出1112ykx，12122ykx，2322yxk，计算出12212113212322kmyyymyykyk，将两根之积代入，化简得到【淘宝店铺：向阳百分百】21211321231434821834yyymkmmmkky，再代入两根之和，得到132kkk是定值2.【详解】（1）由题意得24a，解得2a，将33,2代入椭圆方程222:14xyCb中得，233144b，解得23b，故椭圆方程为22:143xyC（2）因为2a，431c，所以1,0F，2,0A，2,0B，设直线MN：1xmy，联立1xmy与22:143xyC可得，2234690mymy，223636340mm恒成立，设1122,,,MxyNxy，则12122269,3434myyyymm，直线AM：1122yxyx，令4x得1162yyx，故1164,2yPx，1112ykx，111216022412yxykx，2322yxk，则1221122112112113232222222111222yyymyxxykxxkxyymyky