微考点6-1 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题（原卷版）

微考点6-1圆锥曲线中的非对称韦达定理问题（三大题型）在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似211222yxyx为定值的情形，通过直线代换可得：21211211212122222266yxkxxkxxxyxkxxkxxx，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：1212211212122211)()(xtmxkxxtmxkxtxyxtxyxxtyxtykkPBPA我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到12xx和12xx之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.具体办法：①联立方程后得到韦达定理：21212121)())(()()(xxtnxxtmtgxxtfxx代入之后进行代换消元解题.②利用点在椭圆方程上代换题型一：利用非对称韦达定理思想解决定点问题【精选例题】【例1】已知双曲线2222:1(0)3xyCaaa的左顶点为A，右焦点为F，P是直线:2alx上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．(1)证明：2APNNPF；(2)取1a，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【跟踪训练】1.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点2,0A，3(1,)2B，M，N为椭圆E上关于x轴对称的两点（不与点B重合），1,0Q，直线MQ与椭圆E交于另一点C，直线QP垂直于直线NC，P为垂足．(1)求E的方程；(2)证明：（i）直线NC过定点，（ii）存在定点R，使PR为定值．2.椭圆C:222210xyabab的一个焦点为1,0F，且过点31,2M．(1)求椭圆C的标准方程和离心率；(2)若过点2,03且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线6x上，且NP与x轴平行，求直线MP恒过的定点．题型二：利用非对称韦达定理思想解决斜率定值问题【精选例题】【例1】椭圆2222:1(0)xyCabab的长轴长为4，且椭圆C过点33,2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A、B为椭圆C的左、右顶点，过右焦点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N，直线AM与直线4x交于点P，记PA、PF、BN的斜率分别为1k、2k、3k，问132kkk是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由.【例2】已知椭圆C：22xa＋22yb＝1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为12，点P31,2为椭圆上一点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．【跟踪训练】1.已知点F为椭圆22:143xyE的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为12,,kk证明12kk为定值．2．已知双曲线C：222210,0xyabab的离心率为2，点3,1在双曲线C上.过C的左焦点F作直线l交C的左支于A、B两点.(1)求双曲线C的方程；(2)若2,0M，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上?请说明理由.(3)点4,2P，直线AP交直线2x于点Q.设直线QA、QB的斜率分别1k、2k，求证：12kk为定值.题型三：利用非对称韦达定理思想解决定直线问题【精选例题】【例1】已知1,0,1,0BC为ABC的两个顶点，P为ABC的重心，边,ACAB上的两条中线长度之和为6.(1)求点P的轨迹T的方程.(2)已知点3,0,2,0,2,0NEF，直线PN与曲线T的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于点M，试问：当点P变化时，点M是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.【例2】已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为25,0，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为1A，2A，过点4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线1MA与2NA交于点P．证明:点P在定直线上.【跟踪训练】1.已知圆221:(5)1Cxy，圆222:(5)25Cxy，动圆C与圆1C和圆2C均相切，且一个内切、一个外切．(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程．(2)已知点(0,2),(0,2)AB，过点(0,1)的直线l与轨迹E交于,MN两点，记直线AM与直线BN的交点为P．试问：点P是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．2.已知椭圆C：222211xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，上顶点为A，1F到直线2AF的距离为3，且22AF.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过2F且斜率为0kk的直线l与椭圆C交于D，E两点，椭圆C的左、右顶点分别为1A，2A，证明：直线1AD与2AE的交点在定直线上.3.已知椭圆22:104xyWmmm的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．(1)求椭圆W的方程及离心率；(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．1．已知椭圆E的左、右焦点分别为1,0Fc，2,00Fcc，点M在椭圆E上，212MFFF，12MFF△的周长为423，面积为12c．(1)求椭圆E的方程．(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点1,0的直线l与椭圆E交于C，D两点（不同于左右顶点），记直线AC的斜率为1k，直线BD的斜率为2k，问是否存在实常数，使得12kk，恒成立？若成立，求出的值，若不成立，说明理由．2．椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点分别为A，B，过左焦点(1,0)F的直线与椭圆交于C，D两点（其中C点位于x轴上方），当CD垂直于x轴时，3.CD(1)求椭圆的方程；(2)记直线AC，BD的斜率分别为12,kk，问；12kk是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．3．已知圆221:(5)1Cxy，圆222:(5)25Cxy，动圆C与圆1C和圆2C均相切，且一个内切、一个外切．(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程．(2)已知点(0,2),(0,2)AB，过点(0,1)的直线l与轨迹E交于,MN两点，记直线AM与直线BN的交点为P．试问：点P是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．4．已知椭圆22:104xyWmmm的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．(1)求椭圆W的方程及离心率；(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．5．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，点31,2P在椭圆C上，且252PF，直线l过点1F且与椭圆C交于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知11OFFM，22OFFN，若直线AM，BN交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．6．已知椭圆E：222210xyabab，22,0F为椭圆E的右焦点，三点331,22，331,22，12,3中恰有两点在椭圆E上.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点,AB为椭圆E的左右端点，过点2,0M作直线交椭圆E于P，Q两点（不同于,AB），求证：直线AP与直线BQ的交点N在定直线上运动，并求出该直线的方程.7．已知F是椭圆2222:10xyCabab的左焦点，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，椭圆的离心率为32，MOF△的面积的最大值为32.(1)求椭圆C的方程；(2)A，B为椭圆的左，右顶点，点1,0P，当M不与A，B重合时，射线MP交椭圆C于点N，直线AM，BN交于点T，求ATB的最大值.8．已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，右焦点为3,0F，A，B分别为椭圆C的左、右顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)过点1,0D作斜率不为0的直线l，直线l与椭圆C交于P，Q两点，记直线AP的斜率为1k，直线BQ的斜率为2k，求证：12kk为定值；(3)在（2）的条件下，直线AP与直线BQ交于点M，求证：点M在定直线上.