微考点6-6 圆锥曲线中斜率和积与韦达定理的应用（原卷版）

微考点6-6圆锥曲线中斜率和积与韦达定理的应用【考点分析】斜率和（积）构造与韦达定理目前我们市面上的斜率型题目中一大类就是斜率和（积）构造，这其中主要特征就是一定点两动点，而定点的特征又可进一步分成在坐标轴上和一般点.倘若定点),0(tP，在椭圆上的动点),(),,(2211yxByxA，那么：①21221212211)(xxtyytyyxtyxtykkPBPA，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直接代入韦达定理求解.②212112212211)(xxxxtyxyxxtyxtykkPBPA,这里对交叉项1221yxyx的处理可进一步代入直线方程：mkxyAB:，化简可得：2121122112212xxmxkxmkxxmkxxyxyx212121211221))((2)(xxxxtmkxxxxtyxyxkkPBPA（*），再代入韦达定理.注意，这一步代入很重要，（*）式是一个非常简洁的结构，易于操作.③))(()()()(11212112212211tytyyytyxyxtyxtyxkkPBPA.可进一步代入直线方程：nmyxAB:，化简可得：2121122112212yynymyynmyynmyyxyx【精选例题】【例1】已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，点0,1A在C上．过C的右焦点F的直线交C于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若动点P满足2PMPNPFkkk，求动点P的轨迹方程．【例2】已知点2,1A在双曲线2222:111xyCaaa上，直线l（不过点A）的斜率为1，且交双曲线C于P、Q两点.(1)求双曲线C的方程；(2)求证：直线AP、AQ的斜率之和为定值.【例3】已知O为坐标原点，椭圆222210xyabab的离心率为32，椭圆的上顶点到右顶点的距离为5．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的左、右顶点分别为E、F，过点(2,2)D作直线与椭圆交于A、B两点，且A、B位于第一象限，A在线段BD上，直线OD与直线FA相交于点C，连接EB、EC，直线EB、EC的斜率分别记为1k、2k，求12kk的值．【例4】已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率是12，且过点31,2M．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C的左、右顶点分别为1A，2A，且P，Q为椭圆C上异于1A，2A的点，若直线PQ过点1,02，是否存在实数，使得12APAQkk恒成立．若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．【例5】已知椭圆C：222210xyabab的右焦点F在直线210xy上，,AB分别为C的左、右顶点，且3AFBF.(1)求C的标准方程；(2)已知2,0P，是否存在过点1,0G的直线l交C于M，N两点，使得直线PM，PN的斜率之和等于-1?若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.【例6】双曲线C：22221(0,0)xyabab的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交双曲线C于B，D两点，且ABD△是直角三角形．(1)求双曲线C的标准方程；(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k1，k2，若122kk，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论．【跟踪训练】1.已知椭圆22:14xCy的左右顶点分别为,AB，上顶点为,DM为椭圆C上异于四个顶点的任意一点，直线AM交BD于点P，直线DM交x轴于点Q.(1)求MBD面积的最大值；(2)记直线,PMPQ的斜率分别为12,kk，求证：122kk为定值.2.已知点4,3P为双曲线2222:1(0,0)xyEabab上一点，E的左焦点1F到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E的标准方程；(2)不过点P的直线ykxt与双曲线E交于,AB两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线ykxt过定点，并求该定点的坐标.3.已知椭圆C：222210xyabab，3ab，点221,3在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点1,0Q且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，3,0T，证明TM，TN斜率之积为定值．4.在平面直角坐标系中，已知两定点4,0A，4,0B，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且22MNANNB．(1)求动点M的轨迹；(2)设过0,1P的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为1k，2k，0k，且满足120112kkk．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．5.设椭圆22:12xCy的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为2,0．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．6.设抛物线2:2(0)Eypxp的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且8AB．(1)求抛物线E的方程；(2)设1,Pm为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为PMk和PNk．求证：PMPNkk为定值．7.已知椭圆2222:1(0)xyEabab经过点31,2A，离心率为12．过点0,2B的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为AMk和ANk，求11AMANkk的值．1．已知O为坐标原点，过点2,0P的动直线l与抛物线2:4Cyx相交于,AB两点．(1)求OAOB；(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在不同于点P的定点Q，使得AQPBQP恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．设抛物线2:20Eypxp的焦点为F，过F且斜率为1的直线与E交于,AB两点，且8AB.(1)求抛物线E的方程；(2)已知过点1,0的直线l与E交于不重合的两点,MN，且1,2P，直线PM和PN的斜率分别为PMk和PNk.求证：PMPNkk为定值.3．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左､右顶点分别为12,AA，点53,2P在C上，且223AP.(1)求C的方程；(2)直线:1lykx与C交于,MN两点，记直线12,AMAN的斜率分别为12,kk，若1250kk，求k的值.4．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，1A、2A分别为椭圆C的左、右顶点，1F、2F分别为椭圆C的左、右焦点，112AF．(1)求椭圆C的方程；(2)设与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P、Q两点（P、Q在x轴的两侧），记直线1AP，2AP，2AQ，1AQ的斜率分别为1k，2k，3k，4k．（i）求12kk的值；（ii）若142353kkkk，求2FPQ△面积的取值范围．5．已知曲线C上的任意一点到直线455x的距离是它到点(5,0)的距离的255倍.(1)求曲线C的方程;(2)设(2,0)M，(2,0)N，过点(4,0)G的直线l在y轴的右侧与曲线C相交于A，B两点，记直线AM，BN的斜率分别为AMk，BNk，求直线l的斜率k的取值范围以及3BNAMkk的值.6．已知椭圆2222:10xyCabab的离心率32e，短轴长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点4,2且斜率不为12的动直线l与椭圆C交于M、N两点，点P是直线12yx上一定点，设直线PM、PN的斜率分别为1k、2k，若12kk为定值，求点P的坐标.7．在平面直角坐标系内，已知,PQ两点关于原点对称，且P的坐标为6,1.曲线C上的动点R满足当直线PRQR，的斜率12kk，都存在时，1212kk.(1)求曲线C的方程；(2)已知直线l过点4,0且与曲线C交于AB，两点，问是否存在定点M，使得直线MAMB，关于x轴对称？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.8．在平面直角坐标系xOy中，ABC是直角三角形，π2CAB，0,12C，点A，B分别在x轴和y轴上运动，点A关于B的对称点为M.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若过点C的直线l与点M的轨迹交于P，Q两点，0,12N，求直线NP，NQ的斜率之和.