专题2.6 幂函数（原卷版）

2.6幂函数思维导图知识点总结知识点一幂函数的概念一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝12x；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x312yxy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)值域RR奇偶性奇单调性增在[0，＋∞)，在(－∞，0]上在(0，＋∞)上，在(－∞，0)上知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点．2．当α0时，幂函数的图象通过，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α1时，幂函数的图象；当0α1时，幂函数的图象．3．当时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．5．在第一象限，作直线x＝a(a1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．典型例题分析考向一幂函数的概念例1(1)下列函数：①y＝x3；②y＝12x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a1)．其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知222()2223mymmxn－＝＋－＋－是幂函数，求m，n的值．反思感悟判断函数为幂函数的方法(1)自变量x前的系数为1.(2)底数为自变量x.(3)指数为常数．考向二幂函数的图象及应用例2(1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P2，14，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．反思感悟(1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．考向三比较幂值的大小例3比较下列各组数的大小．(1)250.5与130.5；(2)－23－1与－35－1；(3)1332与1413.反思感悟此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．考向四幂函数性质的应用例4已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足33312mmaa的a的取值范围．通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养．基础题型训练一、单选题1．已知函数()(21)()mfxmxmR是幂函数，则函数()log()2agxxm(0a，且1a)的图象所过定点P的坐标是（）A．(0,2)B．(1,2)C．(2,2)D．(1,2)2．函数11fxx的单调减区间是（）A．|0xxB．,C．,00,D．,0和0,3．已知幂函数y＝223mmx-(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于（）A．1B．0，2C．－1，1，3D．0，1，24．已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2221()232fxxaxaa，若xR，(1)()fxfx，则实数a的取值范围为（）A．11,66B．66,66C．11,33D．33,335．下列比较大小中正确的是（）A．0.50.53223B．112335C．3377(2.1)(2.2)D．443311236．“1”是“函数()fxx在(0,)上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、多选题7．关于幂函数(,yxR是常数），结论正确的是（）A．幂函数的图象都经过原点0,0B．幂函数图象都经过点1,1C．幂函数图象有可能关于y轴对称D．幂函数图象不可能经过第四象限8．已知函数()afxx=的图象经过点1,22，则（）A．()fx的图象经过点（2，4）B．()fx的图象关于原点对称C．()fx在(0,)上单调递减D．()fx在(0,)内的值域为(0,)三、填空题9．已知幂函数233mymmx在0,上单调递增，则m＝______．10．已知()fx是奇函数，且当0x时，()eaxfx.若(ln2)8f，则a__________.11．若函数211axfxx为奇函数，则a的取值范围为__________．12．已知幂函数223mmfxxmZ为偶函数，且在区间0,上是单调增函数，则2f的值为_________．四、解答题13．在同一坐标系内画出下列函数的图象，并加以比较：（1）12yx，13yx；（2）1yx，2yx-=.14．已知函数2151mhxmmx为幂函数，且为奇函数.（1）求m的值；（2）求函数12gxhxx在11,2x的值域.15．已知幂函数223mmfxx（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在0,上是严格减函数，求满足33132mmaa的实数a的取值范围．16．已知函数2log1nfxmx为奇函数，其中,,0mnRm1求,mn的值；2求使不等式1fx成立的x的取值范围.提升题型训练一、单选题1．幂函数f（x）的图象过点124，，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）2．数学学习的最终目标：让学习者会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.“双11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数学知识对“双11”相关优惠活动进行研究.已知2019年“双11”期间某商品原价为a元，商家准备在节前连续2次对该商品进行提价且每次提价10%，然后在“双11”活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%.该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格a元相比.A．相等B．略有提高C．略有降低D．无法确定3．已知241mfxmmx是幂函数，且1x、2xR，12xx都有12120fxfxxx，则不等式2log8fx的解集为（）A．0,4B．4,C．1,22D．1,424．已知幂函数2())(253mfmmxx为偶函数，则关于函数()()()1fxgxfx的下列四个结论中正确的是（）A．()gx的图象关于原点对称B．()gx的值域为01，C．()gx在0，上单调递减D．1()+1gxgx5．定义在R上的偶函数fx在[0，＋∞)上是增函数，则方程fx＝23fx的所有实数根的和为()A．1B．2C．3D．46．下列命题中，正确的有（）个①对应：21R,R,:1ABfxyx是映射，也是函数；②若函数(1)fx的定义域是（1,2），则函数2fx的定义域为,102，；③幂函数23yx与4yx图像有且只有两个交点；④当0b时，方程210xb恒有两个实根.A．1B．2C．3D．4二、多选题7．已知函数f（x）=xa的图象经过点（12，2），则（）A．f（x）的图象经过点（2，4）B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）在（0，+∞）上单调递增D．f（x）在（0，+∞）内的值域为（0，+∞）8．设函数2()(1)(R)fxaxxaa，则（）A．存在实数a，使()fx的定义域为RB．函数()fx一定有最小值C．对任意的负实数a，()fx的值域为0，D．若函数()fx在区间0，上递增，则10a，三、填空题9．已知幂函数f(x)=xa的图象过点(4,2),则a=_______10．实数a满足3322(21)(1)aa，则实数a的取值集合为__________.11．已知幂函数223mmfxxmN的图像关于直线0x对称，且在0,上单调递减，则关于a的不等式33132mmaa的解集为______．12．设函数212exfxx，则使24fxfx成立的x的取值范围是___________.四、解答题13．已知幂函数的图像经过点(9,3)，求这个幂函数的解析式.14．已知幂函数1211mfxmmx图像不经过第三象限；(1)求m的值；(2)求函数21gxfxfx的值域.15．已知函数5115xxmmfx.（1）若fx是实数集R上的奇函数，求m的值；（2）用定义证明fx在实数集R上的单调递增；（3）若fx的值域为D，且[11,32D，求m的取值范围.16．已知幂函数23122233ppfxppx满足24ff．(1)求函数fx的解析式；(2)若函数2,1,9gxfxmfxx，是否存在实数m使得gx的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；(3)若函数3hxnfx，是否存在实数,abab，使函数hx在,ab上的值域为,ab？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．