专题4.4 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质（原卷版）

4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质思维导图知识点总结1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)一个周期内的简图时，要找五个关键点x－φω＋π2ω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πφ[常用结论]1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.典型例题分析考向一公式的逆用及变形角度1公式的活用例1(1)(2023·濮阳一模)cos40°sin70°－sin40°·sin160°＝()A.－12B.12C.－32D.32(2)若α＋β＝－3π4，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________.角度2辅助角公式的运用例2化简：(1)sinπ12－3cosπ12；(2)1sin10°－3sin80°.感悟提升三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一.应注重公式的逆用和变形使用.考向二三角函数式的化简例3(1)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.(2)化简：(1tanα2－tanα2)·1＋tanα·tanα2＝________.感悟提升1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.考向三三角函数求值问题角度1给角求值例4(1)sin40°(tan10°－3)等于()A.2B.－2C.1D.－1(2)cos20°·cos40°·cos100°＝________.角度2给值求值例5(1)(2023·安徽名校联考)已知cosα＋π6＝34，则sin2α＋5π6＝()A.－18B.18C.－14D.14(2)(2023·铁岭质检)已知1cosθ＋tanθ＝2，则tanθ2的值为()A.3B.13或－1C.12D.13角度3给值求角例6已知α，β均为锐角，cosα＝277，sinβ＝3314，则cos2α＝________2α－β＝________.感悟提升1.给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.2.给值(角)求值问题的一般步骤(1)化简条件式子或待求式子；(2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.考向四三角恒等变换的应用例7设函数f(x)＝sinx＋cosx(x∈R).(1)求函数y＝fx＋π22的最小正周期；(2)求函数y＝f(x)fx－π4在0，π2上的最大值.感悟提升三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.考向五函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例8已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，－π2φπ2)的最小正周期是π，且当x＝π6时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？迁移本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cosx的图象经过怎样的变换得到？感悟提升作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.基础题型训练一、单选题1．要得到函数sin3yx的图象，只需将函数sin33yx的图象上的所有点沿x轴A．向右平移1个单位长度B．向左平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度2．把函数sin()3yx的图象向右平移3个单位，得到的函数解析式为A．sinyxB．cosyxC．2sin()3yxD．2cos()3yx3．已知函数sincosyxx的图象向右平移6个单位长度，则平移后图象的对称中心为（）A．,026kkZB．,026kkZC．,0212kkZD．,0212kkZ4．函数sin()yAx＝＋0,2在一个周期内的图像如图所示，则此函数的解析式为()A．2sin24yxB．2sin24yxC．32sin8yxD．72sin216xy5．将函数sinyx的图象上所有的点向右平行移动π4个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．πsin24yxB．πsin28yxC．1πsin24yxD．1πsin28yx6．已知函数()sincos(0)fxxx，若()fx在(,)上有且只有3个零点，则的取值范围为（）A．57,44B．57,44C．79,44D．79,44二、多选题7．要得到函数cos23yx的图象，只需将函数cosyx图象上所有点的坐标（）A．向右平移6个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）B．向左平移3个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）C．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移6个单位长度D．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12个单位长度8．已知函数()22sin()0,2fxx的部分图像如图所示，将()fx的图像向右平移(0)aa个单位后，得到函数()gx的图像，若对于任意的,()24xRgxg，则a值可以为（）A．12B．4C．512D．1112三、填空题9．在平面直角坐标系中，将曲线:sin2Cyx上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍，所得新的曲线方程为__________.10．若将函数sin23fxx的图象沿x轴向右平移0个单位后所得的图象与fx的图象关于x轴对称，则的最小值为________________.11．已知π2sin(0)6gxx，若对任意π0,3x，都有3gx，则的最大值为________.12．下列四个命题：①函数fx的值域是22,，则函数1fx的值域为22,；②把函数2sin2fxx图像上的每一个点的横坐标伸长到原来的4倍，然后再向右平移6个单位得到的函数解析式为2sin26xgx；③已知2,1ar，则与a共线的单位向量为255,55；④一条曲线23yx和直线yaaR的公共点个数是m，则m的值不可能是1.其中正确的有___________（写出所有正确命题的序号）.四、解答题13．函数3cos,,22yxx的图像可以通过函数sin,[0,2]yxx的图像经过怎样的平移得到？解释你的结论.14．已知函数sinfxAx（0A，0，π）的一段图像如下图所示，（1）求函数fx的解析式；（2）求函数fx的单调增区间；15．已知函数()sin()fxAx（0A，0，π2）的部分图像如图所示．(1)求函数()fx的解析式；(2)求不等式1()2fx的解集．16．设函数sinsin62fxxx，其中06，已知06f（1）求；（2）将函数yfx的图像上的各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向右平移4个单位长度，得到函数ygx的图像上，求gx在02，上的最小值.提升题型训练一、单选题1．要得到函数sin26yx，xR的图像，只需把函数sin2fxx，xR的图像（）A．向右平移6个单位B．向右平移12个单位C．向左平移6个单位D．向左平移12个单位2．将函数π3cos(0)6fxx的图象向右平移π6个单位长度，得到函数gx的图象，若函数ygx在π3π,24上单调递增，则的最大值为（）A．2B．83C．103D．43．要得到函数sin2yx的图象，只需将函数πcos26yx的图象（）.A．向右平移π3个单位B．向左平移π4个单位C．向左平移π3个单位D．向右平移π4个单位4．已知函数2sinfxx（其中0），若对任意13,04x，存在20,3x，使得12fxfx，则的取值范围为（）A．3B．03C．902D．925．已知函数cos20,2fxx的最小正周期为，将其图象向右平移6个单位后得函数cos2gxx的图象，则函数fx的图象A．关于直线23x对称B．关于直线6x对称C．关于点2-03，对称D．关于点5-012，对称6．函数sinfxx（其中0，02）的图象如图所示，为了得到sinyx的图象，则需将yfx的图象（）A．横坐标缩短到原来的12，再向右平移12个单位B．横坐标缩短到原来的12，再向右平移6个单位C．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移3个单位D．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6个单位二、多选题7．下列说法错误的是（）A．函数1π2sin24yx的最小正周期是4πB．函数sinyx是周期为π的奇函数C．函数tanyx最小正周期为2πD．若对x，满足()()fxafx，aR，则函数()fx周期为2a8．已知函数sin3cos(0)fxxx相邻的最高点的距离为，则下列结论正确的是（）A．函数yfx的图象关于点,03中心对称B．函数fx在区间,63上的值域为1,2C．将函数yfx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，然后向左平移4个单位得2sin43yx的图象D．若23f，则5162129f三、填空题9．函数sin(2)4yx的初相是_________10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所