专题4.6 正、余弦定理及其应用举例（原卷版）

4.6正、余弦定理及其应用举例思维导图知识点总结1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝；c2＝a2＋b2－2abcos__CasinA＝＝＝2R常见变形cosA＝；cosB＝cosC＝a2＋b2－c22ab(1)a＝2RsinA，b＝，c＝；(2)sinA＝a2R，sinB＝，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥baba≤b解的个数一解3.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高).(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).[常用结论]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.2.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，AB⇔ab⇔sinAsinB⇔cosAcosB.典型例题分析考向一利用正、余弦定理解三角形例1(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，A＝30°，则B等于()A.30°B.45°C.30°或150°D.45°或135°(2)(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝19，AB＝2，则BC＝()A.1B.2C.5D.3(3)(2023·广州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cosBcosC·(tanB＋tanC)＝cosBtanB＋cosCtanC，则cosA的最小值是________.感悟提升1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).2.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.考向二判断三角形的形状例2(1)在△ABC中，c－a2c＝sin2B2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形(2)在△ABC中，sinAsinB＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为________.感悟提升判断三角形形状的两种思路(1)化为边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)化为角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.考向三与三角形面积(周长)有关的计算例3(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝32，sinB＝13.(1)求△ABC的面积；(2)若sinAsinC＝23，求b.感悟提升三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.考向四多边形中的解三角形问题例4(2023·烟台一模)如图，四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2.(1)若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积；(2)若CD＝3BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值.感悟提升平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.考向五三角形中的最值、范围问题例5(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1＋sinA＝sin2B1＋cos2B.(1)若C＝2π3，求B；(2)求a2＋b2c2的最小值.[思路分析](1)化简条件式，利用C＝2π3消去角A得到角B的三角方程，即可求解.(2)利用条件式得到A，B的关系式，利用正弦定理把a2＋b2c2转化为B的三角函数式，利用基本不等式求其最小值.[规范解答]解(1)因为cosA1＋sinA＝sin2B1＋cos2B，所以cosA1＋sinA＝2sinBcosB1＋2cos2B－1，→化倍角为单角以利于计算所以cosA1＋sinA＝sinBcosB，(2分)所以cosAcosB＝sinB＋sinAsinB，所以cos（A＋B）＝sinB②，(4分)→由cos(A＋B)＝－cosC，角C＝2π3，进而求B所以sinB＝－cosC＝－cos2π3＝12.因为B∈0，π3①，所以B＝π6.(5分)→利用B的范围求B(2)由（1）得cos（A＋B）＝sinB，→利用（1）题的结论所以sinπ2－（A＋B）＝sinB，且0A＋Bπ2，所以0Bπ2，0π2－(A＋B)π2①，→根据B与π2－（A＋B）的范围确定其关系所以π2－(A＋B)＝B，解得A＝π2－2B，(8分)由正弦定理得a2＋b2c2＝sin2A＋sin2Bsin2C→利用正弦定理实现边角互化＝sin2A＋sin2B1－cos2C＝sin2π2－2B＋sin2B1－sin2B②→消去角A以利求解＝cos22B＋sin2Bcos2B＝（2cos2B－1）2＋1－cos2Bcos2B＝4cos4B－5cos2B＋2cos2B＝4cos2B＋2cos2B－5③(10分)→化为基本不等式的形式≥24cos2B·2cos2B－5＝42－5③，当且仅当cos2B＝22时取等号，→验证取等号的条件所以a2＋b2c2的最小值为42－5.(12分)[满分规则]❶得步骤分：①处的实质都是解三角方程，都要注意写清楚角的范围，否则易失步骤分.❷得关键分：②处消去角A是本题得解的关键所在.❸得计算分：③处利用基本不等式求最小的关键是把目标函数化为其适用形式.感悟提升对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程.考向六三角函数模型例6(多选)(2023·福州模拟)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则()A.点P第一次到达最高点需要20秒B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4cosπ30t＋π3＋2感悟提升1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.3.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.基础题型训练一、单选题1．在ABC中，已知1sin,,336ABAC，则BC（）A．3B．2C．32D．922．有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为6m,下底长为10m,高为23m,那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为A．3,603B．3,60C．3,30D．3,3033．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2b，3caac，23B，则ABC的面积为（）A．32B．36C．3D．344．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为（）A．40mB．20mC．305mD．(20640)m5．在ABC中，80a，100b，30A，则满足条件的B有（）A．0个B．1个C．2个D．不确定6．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a，b是方程22320xx的两个根，且2sin()30AB，则c＝（）A．4B．6C．23D．32二、多选题7．某人在A处向正东方向走kmx后到达B处，他沿南偏西60方向走3km到达C处，这时他离出发点3km，那么x的值可以是（）A．3B．23C．2D．228．ABC的内角、、ABC的对边分别为abc、、，下列结论一定成立的有（）A．cos()cosABCB．若AB，则sinsinABC．若coscosaBbAa，则ABC是等腰三角形D．若sin2sin2AB，则ABC是等腰三角形三、填空题9．在ABC中，4A，2a，22b，则B__________．10．ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知2cossincossinaBCbACc，则a的最大值为__．11．甲船在岛B的正南A处，6ABkm，甲船以每小时4km的速度向正北方向航行，同时乙船自B出发以每小时3km的速度向北偏东60的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____km.12．在ABC中，AB=1，BC=2，以C为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD，当∠ABC变化时，线段BD的最大值为______．四、解答题13．在ABC中，2AB，4B，D为BC边上一点，且3BD．（1）求AD；（2）若22AC，求sinC．14．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足ππ3cos214sin()sin()63AAA．(1)求角A的值；(2)若2a，且ba，求2bc的取值范围．15．ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，4AC，2BC，01ADAB．(1)120ACB，13时，求CD的长度；(2)若CD为角C的平分线，且2CD，求ABC的面积．16．已知ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且223sinsin3()2CacAab．(1)求tanA的值；(2)若13bc，20bca，求a．提升题型训练一、单选题1．在△ABC中，7,5ac，则sin:sinAC的值是（）A．75B．57C．712D．5122．在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若1ABACBABC，则c的值为（）A．1B．2C．2D．43．已知ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足222bcabc，则A（）A．6B．3C．23D．564．在ABC中，角,,ABC的对边为,,abc，若1,2bac，则当C取最大值时，ABC的面积是（）A．33B．36C．233D．35．如图，四边形ABCD中，1ABBC，2ABCACD，且ABC、ACD的周长相等，则sin2BAD（）A．22B．34C．79D．326．如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点P距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得P的仰角为30，120ABO，30BAO，60AB（单位：m），（点,,ABO在同一水平地面上），则大跳台最高高度OP（）A．45mB．452mC．60mD．603m二、多选题7．ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，4a，30A，则b可以为（）A．7B．8C．9D．108．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且coscos2BbCac，