专题5.2 平面向量的基本定理及坐标运算（原卷版）

5.2平面向量的基本定理及坐标运算思维导图知识点总结1.平面向量的基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝基底两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，称为向量作正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝，|AB→|＝设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，则a∥b⇔[常用结论]1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.典型例题分析考向一平面向量基本定理的应用例1(1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA→＝m，CD→＝n，则CB→＝()A.3m－2nB.－2m＋3nC.3m＋2nD.2m＋3n(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则t的值为________.感悟提升1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.考向二平面向量的坐标运算例2(1)在平行四边形ABCD中，AD→＝(3，7)，AB→＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则CO→的坐标为()A.－12，5B.12，5C.－12，－5D.12，－5(2)(2023·北京人大附中统练)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则()A.c＝2a－3bB.c＝－2a－3bC.c＝－3a＋2bD.c＝3a－2b感悟提升平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.考向三平面向量平行的坐标表示角度1利用向量平行求参数例3(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(m，－1)，若c∥(2a＋b)，则m等于()A.－2B.－1C.－12D.12(2)已知向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝________.角度2利用向量平行求向量或点的坐标例4在△ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，则点M的坐标为________.感悟提升1.两平面向量平行的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.2.向量平行的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.基础题型训练一、单选题1．若1212,,(1),OPaOPbPPPP则OP等于（）A．aλbB．(1)abC．abD．11ar＋1b2．若向量1,1a，11b,，则2abrr（）A．5B．25C．10D．103．已知向量(2,1),(,4)ABACa，若ABAC，则||BC（）A．2B．5C．25D．54．已知向量21,1,abmm，，则1m是ab∥的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知向2,1a，4,3b，若a与abl+垂直，则实数的值为（）A．-1B．0C．1D．26．已知点,,ABC不共线，,为实数，APABAC，则“01”是“点P在ABC内（不含边界）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、多选题7．已知向量1,2,1,2ab，则下列结论正确的是（）A．//abrrB．0abC．ba与a反向D．,ab可作一组基底8．已知向量1,1ab，3,1ab，1,1c，设a，b的夹角为，则（）A．abrrB．acC．a在b上的投影向量为1,0D．135三、填空题9．设向量1,2a，2,bt，若ab，则=t________．10．假设25a，1,3b，若ab，则a________________.11．ABC中，2BDDC，若ADxAByAC，则xy___________．12．已知点(0,1)A，(1,2)B，向量(4,1)AC，则BCuuuv__________．四、解答题13．在平面直角坐标系xOy中已知四边形ABCD是平行四边形，1,2AB，2,1AD.(1)则ADAC等于多少？(2)求DB的模？14．已知ABC三个顶点的坐标分别为(0,2),(4,1),(6,9)ABC.(1)若AD是BC边上的高,求向量ADuuuv的坐标;(2)若点E在x轴上,使BCE为钝角三角形,且BEC为钝角,求点E的横坐标的取值范围.15．如图，在平面直角坐标系xOy中，22OAAB，23OAB，(1,3)BC.（1）求点B，点C的坐标；（2）求四边形OABC的面积.16．已知向量(3,2),(1,2),(4,1)abc.(1)若cmanb，求m，n的值：(2)若向量d满足()(),||25dcabdc，求d的坐标.提升题型训练一、单选题1．已知a=(4，5)，b=(－3，4)，则a－4b的坐标是（）A．(16，11)B．(－16，－11)C．(－16，11)D．(16，－11)2．已知a，b为平面向量，且4,3a，23,18ab，则a，b夹角的余弦值等于（）A．865B．－865C．1665D．－16653．正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则·PCPD的取值范围为（）A．04，B．08，C．18，D．14，4．在平面四边形ABCD中，ADBC，12||||ABADACABAD，2BAAD.若E、F为边BD上的动点，且||3EF，则AEAF的取值范围为（）A．1,14B．9,434C．7,434D．1,745．把点(3,4)按向量a平移到点(2,1)，则函数2xy的图像按向量a平移后的图象的函数表达式为（）．A．523xyB．523xyC．523xyD．523xy6．在ABC中，6AB，8BC，ABBC，M是ABC外接圆上一动点，若AMABAC，则的最大值是（）A．1B．54C．43D．2二、多选题7．设O、A、B是平面上任意三点，定义向量的运算：det,OAOBOAOB，其中向量OB由向量OB以点O为旋转中心顺时针旋转90得到（若OB为零向量，规定OB也是零向量）.对平面向量a、b、c，下列说法正确的是（）A．det,det,abbaB．对任意R，det,det,aababC．若a、b为不共线向量，满足,xaybcxyR，则det,det,caxba，det,det,cbyabD．det,det,det,0abcbcacab8．已知ABC的重心为G，点E是边BC上的动点，则下列说法正确的是（）A．AGBGCGB．若2133AEABAC，则EAC的面积是ABC面积的13C．若2ABAC，3BC，则76ABAGD．若2ABAC，3BC，则当EAEB取得最小值时，374EA三、填空题9．已知向量2,1a，1,2b则ab______．10．向量,1,2,,2,2axbyc，且,acbc∥，则ab___________.11．已知平面向量,,abc，其中是,ab是单位向量且夹角为45，向量c满足22acac，则2acb的最大值与最小值之差为__________.12．已知2ab，4ab，则ab的范围是________.四、解答题13．在下列各小题中，已知向量a，b的坐标，分别求,abab的坐标：（1）(2,4)a，(5,2)b；（2）(4,3)a，(3,8)b；（3）(2,3)a，(2,3)b；（4）(3,0)a，(0,4)b．14．已知点0,0O、1,2A、4,5B及OPOAtAB，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？15．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中2,1ar．(1)若25cr，且//carr，求c的坐标；(2)若52br，且a与b的夹角为π，求22abab的值．16．已知向量2coscos,axx，sin,16bx．设函数122fxab，xR．(1)求函数fx的解析式及其单调增区间；(2)设π()()4gxfx，若方程2()1gxm在π02x，上有两个不同的解12xx，，求实数m的取值范围，并求12tan()xx的值.(3)若将yfx的图像上的所有点向左平移4个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()hx的图像．当π2,xmm（其中0π,m）时，记函数()hx的最大值与最小值分别为max()hx与in()mhx，设maxmin()()mhxhx，求函数m的解析式.