专题02 复数（解析版）

学科网（北京）股份有限公司1专题02复数目录一览2023真题展现考向一复数的运算考向二复数的代数表示法及其几何意义真题考查解读近年真题对比考向一．复数的代数表示法及其几何意义考向二．复数的运算考向三．共轭复数命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一复数的运算1．（2023•新高考Ⅰ•第2题）已知z，则z（）A．﹣iB．iC．0D．1【答案】A解：z，则，故i．故选：A．考向二复数的代数表示法及其几何意义2．（2023•新高考Ⅱ•第1题）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A学科网（北京）股份有限公司2解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），位于第一象限．故选：A．【命题意图】考查复数的相关概念与四则运算，考查运算求解能力．【考查要点】复数是高考考查热点之一，以选择题、填空题的形式出现．考查复数的相关概念与复数的四则运算交汇．常考的命题角度：①复数的概念问题；②复数的四则运算；③复数的几何意义；④复数的模．【得分要点】1．复数的四则运算(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．2．复数的几何意义(1)z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ―→．(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．考向一．复数的代数表示法及其几何意义1．（2021•新高考Ⅱ）复数在复平面内对应点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A．解：∵＝＝，∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（，），位于第一象限．考向二．复数的运算2．（2022•新高考Ⅱ）（2+2i）（1﹣2i）＝（）A．﹣2+4iB．﹣2﹣4iC．6+2iD．6﹣2i学科网（北京）股份有限公司3【答案】D．解：（2+2i）（1﹣2i）＝2﹣4i+2i﹣4i2＝6﹣2i．考向三．共轭复数3．（2022•新高考Ⅰ）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【答案】D．解：由i（1﹣z）＝1，得1﹣z＝，∴z＝1+i，则，∴．4．（2021•新高考Ⅰ）已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（）A．6﹣2iB．4﹣2iC．6+2iD．4+2i【答案】C．解：∵z＝2﹣i，∴z（+i）＝（2﹣i）（2+i+i）＝（2﹣i）（2+2i）＝4+4i﹣2i﹣2i2＝6+2i．分析近三年的高考试题，可以发现复数考察四个考点：复数的概念、复数的运算、复数的代数表示法及其几何意义、复数的模。预计2024年还是主要体现在这四个考点上出题。一、单选题1．（2023·陕西咸阳·武功县模拟预测）已知复数3i1iz，若z的共轭复数为z，则zz（）A．5B．5C．10D．10【答案】B解：22223i3i1051i21izzz.2．（2023·安徽合肥·二模）设i是虚数单位，则复数21ii在复平面内所对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B解：由题意得2121111iiiiiii，所以在复平面内表示复数1i的点为1,1在第二象限．学科网（北京）股份有限公司43．（2023·四川德阳·统考模拟预测）在复平面内，复数21i（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A解：222(1i)22i1i1i(1i)(1i)1i，在复平面内对应的点在第一象限.4．（2023·江苏徐州模拟预测）已知复数213izz，其中i是虚数单位，则z（）A．1iB．1iC．1iD．1i【答案】C解：设izab，bR，则23i13izzab，故1a，1b，1iz，5．（2023·全国·校联考三模）已知复数0,zz满足002,2zzz，则||z的最大值为（）A．2B．22C．4D．32【答案】B解：因为00||2zzzz，所以||22z，所以||22z，所以||z的最大值为22．6．（2023·河南开封·统考三模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为(3,1)，则iz（）A．13iB．3iC．3iD．13i【答案】D解：因为复数z对应的点的坐标为3,1，所以i3z，所以23i(3i)i13i13iiii1z.7．（2023·宁夏银川·统考一模）已知复数z在复平面内对应的点是0,1，则1iz（）A．1iB．1iC．1iD．1i【答案】B解：复数z在复平面内对应的点为0,1，则iz，所以1ii1+i1+i1i1iziii1.8．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知2i3z，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A学科网（北京）股份有限公司5解：因为2i3z，所以32i363i63i2i2i2i555z，所以复数z在复平面内所对应的点为63,55，位于第一象限；9．（2023·湖南常德市模拟预测）已知复数1z与42iz在复平面内对应的点关于实轴对称，则11iz（）A．13iB．13iC．13iD．13i【答案】D解：由42iz对应点为(4,2)，则1z对应点为(4,2)，故142iz，所以12(2i)2(2i)(1311i)ii1i2z.10．（2023·河北沧州·统考三模）若两个复数的实部相等或虚部相等，则称这两个复数为同部复数.已知31iz，则下列数是z的同部复数的是（）A．2iB．32iC．4iD．32i【答案】B解：由于21i1i2i1i22iz，其实部和虚部均为2，而32i与z的虚部相等，其余选项均不符合题意，所以32i是z的同部复数.11．（2023·海南海口模拟预测）设ii12iab，其中a，b为实数，则（）A．5a，2bB．5a，2bC．5a，2bD．5a，2b【答案】A解：ii12i221iabbb，∴2021bba，2b，5a.12．（2023·吉林长春模拟预测）复数2i的平方根是（）A．1i或1iB．2iC．1iD．1i【答案】A解：设2i的平方根为i(,R)xyxy，则2(i)2ixy，即222i2ixyxy，从而220,22,xyxy解得1,1xy或1,1.xy所以复数2i的平方根是1i或1i，13．（2023·陕西安康中学模拟预测）设复数12iiR,zaaz的实部与虚部互为相反数，则a（）学科网（北京）股份有限公司6A．3B．13C．2D．3【答案】D解：12ii212izaaa，由已知得2120aa，解得3a，14．（2023海南华侨中学一模）设i为虚数单位，复数z满足21i1iz，则2z（）A．2B．2C．3D．1【答案】A解：∵21i2i1i1i1iz，∴21i2z.15．（2023·广西模拟预测）已知复数z满足8zz，25zz，则z（）A．34iB．34iC．43iD．43i【答案】C解：设i,zababR，依题意得，28a，2225ab.解得4a，3b，所以43iz.16．（2023·江西南昌十中模拟预测）如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数i=z（）A．2iB．12iC．1+2iD．2i【答案】D解：由图可知，点P的坐标为1,2，故12iz，则i12ii2iz.17．（2023·河南郑州模拟预测）已知i为虚数单位，复数z满足1i13iz，则2iz的虚部为（）A．2B．3C．2iD．3i【答案】B解：由题可得13i1i13i42i2i1i1i1i2z，故2i23iz，其虚部为3，学科网（北京）股份有限公司718．（2023·河南南阳中学三模）已知i为虚数单位，22023iii1iz，则复数z在复平面上所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B解：因为41424344iiiii1i10kkkk，则220231iiii111i1i1i1i1i22z，所以11i22z在复平面上所对应的点为11,22位于第二象限.19．（2023江苏省镇江中学三模）已知复数1212i,2izz（i为虚数单位），3z在复平面上对应的点分别为,,ABC.若四边形OABC为平行四边形（O为复平面的坐标原点），则复数3z为（）A．13iB．13iC．13iD．13i【答案】B解：因为复数112zi､22i(iz为虚数单位)､3z在复平面上对应的点分别为、、ABC，所以(1,2),(2,1)AB，设(,)Cxy，因为OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点)，所以ABOC，所以(1,3)(,)xy，所以13xy，所以313iz，所以313iz，20．（2023·河南郑州模拟预测）已知3i1i2iab（a，Rb，i为虚数单位），则复数1i2ab（）A．2B．5C．7D．6【答案】B解：∵3i1i2iab，∴3i32iaab，∴332aba，解得14ab，所以1i12i52ab．21．（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数izab，其中,ab为实数，且满足212i55iab，则学科网（北京）股份有限公司8z的虚部为（）A．2iB．2iC．2D．2【答案】D解：依题意，212i242i55iaaab，而,ab为实数，则25425aab，解得3,2ab，所以复数32iz的虚部为2.22．（2023·河南模拟预测）已知2023274ii5i1iz，则在复平面内，复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D解：∵2023274i74i73i5ii5ii25i11i2i221iz，∴复数z所对应的点为31,2，位于第四象限.23．（2023·云南曲靖模拟预测）已知复数2023i12iz（i是虚数单位），则1z（）A．55B．33C．5D．3【答案】C解：2023312i12i15iiz.24．（2023·河北沧州模拟预测）已知复数z满足2220zz，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一，四象限D．第二、三象限【答案】D解：设i,,Rzabab，所以2222202i22i20zzababab，所以22220220abaabb，解得1,1ab，所以1iz，25．（2023·安徽·合肥一中模拟预测）若复数z满足cos60isin6013iz，则z的共轭复数的虚部是（）A．3B．3iC．3D．3i【答