1.1 集合（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1.1集合（精讲）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】一．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR二．集合间的基本关系(1)概念关系自然语言符号语言Venn图子集如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,称集合A为集合B的子集(即若x∈A,则x∈B)A⊆B或B⊇A或真子集如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是集合B的真子集AÜB或BÝA集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等A=B（2）子集个数对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.（3）易错点①A⊆B包含两层含义:AÜB或A=B②是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集三．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作A∩BA∩B={x|x∈A且x∈B}资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪BA∪B={x|x∈A,或x∈B}补集对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作∁UA∁UA={x|x∈U,且x∉A}1.解决集合含义问题的关键有三点：①是确定构成集合的元素②是确定元素的限制条件③是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．2.互异性考查利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,注意检验集合中的元素是否满足互异性.3.集合运算的两种常用方法(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．4.已知集合关系求参数(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．5.集合间的运算①集合中的元素是离散的，可用Venn图表示，注意所求参数是否满足集合中元素的性质中的互异性②集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．考法一元素与集合的关系资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例1-1】（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合21,3Mmm，若3M，则实数m=（）A．0B．1C．0或1D．0或1【答案】C【解析】设集合21,3Mmm，若3M，3M，213m或33m，当213m时，1m，此时3,4M；当33m时，0m，此时3,1M；所以1m或0.故选：C【例1-2】（2023·北京东城·统考一模）已知集合220Axx，且aA，则a可以为（）A．－2B．－1C．32D．2【答案】B【解析】∵220x，∴22x，∴|22Axx，可知32,,22AAA，故A、C、D错误；1A，故B正确.故选：B【一隅三反】1．（2023·云南）若22,aaa，则a的值为（）A．0B．2C．0或2D．2【答案】A【解析】若2a，则22aa，不符合集合元素的互异性；若2aaa，则0a或2a（舍），此时22,2,0aa，符合题意；综上所述：0a.故选：A.2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知210Axxax∣，若2A，且3A，则a的取值范围是（）A．5,2B．510,23C．510,23D．03,1【答案】B【解析】由题意，22210a且23310a，解得51023a，故选：B3.（2023广东湛江）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】－32【解析】由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32．当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，故m＝－32．考法二元素的互异性【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）集合,,Aabc中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【答案】A【解析】根据集合中元素的互异性得,,abbcac，故三角形一定不是等腰三角形.故选：A.【例2-2】(2023·山东)已知a，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b，0}，则a2021＋b2021为()A．1B．0C．－1D．±1【答案】C【解析】由已知得a≠0，则ba＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1．根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2021＋b2021＝－1．【一隅三反】1.（2022·浙江·高三专题练习）已知aR，bR，若集合2,,1,,0baaaba，则20192019ab的值为（）A．2B．1C．1D．2【答案】B【解析】因为2,,1,,0baaaba，所以201baaaba，解得01ba或01ba，当1a时，不满足集合元素的互异性，故1a，0b，2019201920192019101ab，故选：B.（2023湖南）若以集合A的四个元素abcd,,,为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）2.A．矩形B．平行四边形资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．梯形D．菱形【答案】C【解析】由题意，集合A的四个元素abcd,,,为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得abcd,,,四个元素互不相等，以四个元素abcd,,,为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.3.（2023湖北）已知集合A＝2x，y－1x，1，B＝{x2，x＋y，0}，若A＝B，则x＋y＝________．【答案】2【解析】显然y＝1，即A＝{2x，0，1}，B＝{x2，x＋1，0}．若x＋1＝1，则x＝0，集合A中元素不满足互异性，舍去．∴x2＝1，且2x＝x＋1，∴x＝1，故x＋y＝2．考法三集合间的关系【例3-1】（2023春·四川成都）集合1,2A，若AB，则集合B可以是（）A．1B．2C．0,1,2D．【答案】C【解析】A、B、D：1A、2A、A，与题设不符；C：0,1,2A，满足要求.故选：C【例3-2】（1）（2023·全国·高三专题练习）集合A＝{1，2，3}的非空子集个数为（）A．5B．6C．7D．8（2）（2023·全国·高三专题练习）已知集合||,11,,0AxyyxxxBxyy，则集合AB的子集个数为（）A．3B．4C．6D．8【答案】（1）C（2）D【解析】（1）因为集合A＝{1，2，3}，知集合中有4个元素，则子集个数为328个，非空子集个数为321817个.故选：C.（2）由已知集合||,11,,0AxyyxxxBxyy，联立11yxxx和0y，可得0x或=1x或1x，则{(0,0),(1,0),(1,0)}AB，故集合AB的子集个数为328个，故选：D【例3-3】（1）（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已集合2{30},9AxaxBxx∣∣，若AB，则实数a的取值集合是（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．{1}B．{1,1}C．{1,0,1}D．{0,1}（2）（2023·广东茂名·统考二模）已知集合1Axx，20Bxxa，若AB，则实数a的取值范围是（）A．2,B．2,C．,2D．,2【答案】（1）C（2）A【解析】（1）{3,3}B，∴当0a时，A，满足AB；当0a时，若AB，则{3}A时，1;{3}aA时，1a．a的取值集合是{1,0,1}．故选：C．（2）集合111Axxxx，2aBxx.要使AB，只需12a，解得：2a.故选：A【一隅三反】1．（2023·宁夏银川·校联考一模）设全集1,3,5,7,9U，若集合M满足1,3,5UMð，则（）A．7MB．9MC．7MD．9M【答案】C【解析】因为全集1,3,5,7,9U，1,3,5UMð，所以7,9M.根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确.故选：C2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设A、B、C是三个集合，若ABBC，则下列结论不正确的是（）．A．ABB．BCC．BAD．AC【答案】C【解析】BAB,ABBC,BBC,BC，故B正确；BCB，ABBCB,ABC,故AD正确；故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合22,|4Axyxy，|,0Bxyxy，则A∩B的子集个数（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】集合22,|4Axyxy表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】集合|,0Bxyxy表示直线0xy上的所有点，因为直线0xy经过圆心(0,0)，所以直线与圆相交，所以AB的元素个数有2个，则AB的子集个数为4个，故选：D.4．（2023春·湖南岳阳）已知集合20,1,2,1,ABx，且BA，则实数x（）A．1B．2C．1或2D．0【答案】A【解析】因为集合20,1,2,1,ABx，且BA，所以2{0,2,1}x，且21x，则22x，解得：1x，故选：A.5．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知集合{|11}Axx，20Bxxm，若AB，则实数m的取值范围是（）．A．,4B．,4C．,22D．,22【答案】C【解析】由题设，2mBxx，又{|11}Axx且AB，所以112m，即22m.故选：C考法四集合间的运算【例4-1】（1）（2023·陕西西安）若集合29Axx，集合13Bxx，则AB中整数的个数为（）．A．5B．6C．7D．8（2）（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）设集合lg1MxZx，2100xNxZ，则MN（）．A．5,6,7B．6,7,8C．7,8,9D．8,9,10（3）（2023·海南）设集合1{|2},03xAxxBxx，则RABð（）A．1,2B．1,2C．2,3D．2,3【答案】（1）C（2）C（3）C【解析】（1）由题意，可得集合2933Axxxx，1324Bxxxx，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则34ABxx，其中集合AB有3,2,1,0,1,2,3Z，共有7个.故选：C.（2）集合{|Z|lg1}{|Z|