4.4 构造函数常见方法（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4.4构造函数常见方法（精讲）常见的构造模型一．只含f(x)→加变乘，减变除1.对于不等式f′(x)＋g′(x)0(或0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)2.对于不等式f′(x)－g′(x)0(或0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)3.对于不等式f′(x)k(或k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx或F(x)＝f(x)－kx＋b；4.对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)0(或0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)5.对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)0(或0)，构造函数f(x)F(x)g(x)(g(x)≠0)．二．含f(x)f(x)1.对于f′(x)＋f(x)0(或0)，构造函数g(x)＝exf(x)2.对于f′(x)＋nf(x)0(或0)，构造函数g(x)＝enx·f(x)3.对于f′(x)－f(x)0(或0)，构造函数xf(x)g(x)e4.对于f′(x)－nf(x)0(或0)，构造函数nxf(x)g(x)e三．含xf′(x)±f(x)1.对于xf′(x)＋f(x)0(或0)，则构造函数g(x)＝xf(x)．2.对于xf′(x)＋nf(x)0(或0)，则构造函数g(x)＝xnf(x)；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3.对于xf′(x)－f(x)0(或0)，则构造函数f(x)g(x)x．4.对于xf′(x)－nf(x)0(或0)，则构造函数nf(x)g(x)x．四．f(x)±f′(x)tanx1.对于f′(x)tanx＋f(x)0(或0)，构造函数h(x)＝f(x)sinx；2.对于f′(x)tanx－f(x)0(或0)，构造函数f(x)h(x)sinx；3.对于f′(x)－f(x)tanx0(或0)，构造函数h(x)＝f(x)cosx；4.对于f′(x)＋f(x)tanx0(或0)，构造函数f(x)h(x)cosx5.对于f′(x)sinx＋f(x)cosx0(或0)，构造函数h(x)＝f(x)sinx；6.对于f′(x)sinx－f(x)cosx0(或0)，构造函数f(x)h(x)sinx；7.对于f′(x)cosx－f(x)sinx0(或0)，构造函数h(x)＝f(x)cosx；8.对于f′(x)cosx＋f(x)sinx0(或0)，构造函数f(x)h(x)cosx考法一常见构造函数模型【例1-1】（2023春·四川凉山）已知函数()()fxxR满足11f，且fx的导函数1()2fx，则1()22xfx的解集为（）A．,0B．,1C．0,D．1,【答案】D【解析】设12Fxfxx，则12Fxfx，因为1()2fx，所以102Fxfx，即函数Fx在R上单调递减，则1()22xfx，即1122xfxf，即1FxF，所以1x，即1()22xfx的解集为1,.故选：D资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例1-2】（2023·青海海东·统考模拟预测）已知fx是奇函数()fx的导函数，且当0,,22x时，tan0fxfxx，则（）A．2046ffB．23043ffC．32046ffD．323043ff【答案】A【解析】当02x时，cos0x，则由tan0fxfxx，得cossin0fxxfxx；当2x时，cos0x，则由tan0fxfxx，得cossin0fxxfxx．令singxfxx，则cossingxfxxfxx，故g（x）在0,2上单调递增，在,2上单调递减．又f（x）是奇函数，所以singxfxx是偶函数，故466ggg，即2046ff，43gg，即23043ff．34g与6g和3g的大小关系不确定．故选：A．【一隅三反】1．（2023春·江苏盐城）已知函数()fx的定义域为R，()fx为()fx的导函数，且0xfxfx，则不等式2222xfxxfx的解集是（）A．2,1B．,21,C．,12,D．()1,2-【答案】D【解析】根据题意，构造函数gxxfx，则0gxxfxfx，所以函数gx在R上单调递增，又2222xfxxfx，即22gxgx，所以22xx，即220xx，解得12x.故选：D.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知fx是函数yfxxR的导函数，对于任意的xR都有1fxfx，且02023f，则不等式ee2022xxfx的解集是（）A．2022,B．,02023,C．,00,UD．0,【答案】D【解析】法一：构造特殊函数.令2023fx，则20231fxfx满足题目条件，把2023fx代入ee2022xxfx得2023ee2022xx解得0x，故选：D.法二：构造辅助函数.令eexxgxfx，则e10xgxfxfx，所以gx在R上单调递增，又因为0012022gf，所以ee20220xxfxgxg，所以0x，故选：D.3．（2023秋·陕西西安）已知函数fx的定义域为ππ,22，其导函数是fx.有cossin0fxxfxx，则关于x的不等式π2cos3fxfx的解集为（）A．ππ,32B．ππ,62C．ππ,63D．ππ,26【答案】A【解析】构造函数cosfxgxx，其中ππ,22x，则2cossin0cosfxxfxxgxx，所以，函数gx在ππ,22上单调递减，因为ππ,22x，则cos0x，由π2cos3fxfx可得π3πcoscos3ffxx，即π3gxg，所以，π3ππ22xx，解得ππ32x，因此，不等式π2cos3fxfx的解集为ππ,32.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A.4．（2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为R的函数fx，其导函数为fx，且满足20fxfx，01f，则（）A．2e11fB．21efC．1e2fD．11e2ff【答案】C【解析】2exfxgx，则22222e2e2eexxxxfxfxfxfxgx，因为20fxfx在R上恒成立，所以0gx在R上恒成立，故gx在R上单调递减，所以10gg，22010e11eefff，故A不正确；所以10gg，即2010eeff，即221e0eff，故B不正确；102gg，即101021eeff，即1e2f，故C正确；112gg，即12112eeff，即11e2ff，故D不正确；故选：C.考法二结构同构【例2-1】（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）设21ln36ln27,,e3epqr，则（）A．pqrB．prqC．rpqD．rqp【答案】A【解析】由21lneln36ln27,,ee3epqr，令函数lnxfxx，可得21lnxfxx，当(0,e)x，可得()0fx¢，fx单调递增；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当(e,)x，可得0fx，fx单调递减，所以当ex，函数fx取得极大值，即为最大值e1fx，函数yfx的图形，如图所示，对于函数lnxfxx，当12fxfx且12xx时，212exx.设20e3ffx且20e3x，则220ee3x，可得03x，所以03fxf，所以22e6ln273()3eff,所以pqr.故选：A.【例2-2】（2023春·安徽）已知2ln32a，3ln23b，ln65c，则（）A．abcB．bacC．acbD．bca【答案】A【解析】由2ln32a，3ln23b，ln65c，对,,abc两边取对数，可得lnln2ln9a，lnln3ln8b，lnln5ln6c，令lnln(11)fxxx，其中25x，可得ln(11)ln(11)ln(11)ln11(11)xxxxxxfxxxxx，令ln,1gxxxx，可得ln10gxx，所以gx为单调递增函数，当25x时，可得11xx，所以(11)ln(11)ln0xxxx,所以()0fx¢，fx在2,5单调递增，所以2345ffff，即ln2ln9ln3ln8ln4ln7ln5ln6，所以abc.故选：A.【一隅三反】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2022·新疆乌鲁木齐）设22ea，ln22b，ln33c，则（）A．abcB．acbC．cabD．bca【答案】A【解析】设lnxfxx，则21lnxfxx，令21ln0xfxx，则ex，所以当0,ex时，0fx，fx单调递增；当e,x时，0fx，fx单调递减；又222eeaf，4ln2ln424bf，ln333cf，又243efff，所以abc.故选：A.2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知1e4a，ln3b，52ln12c，则（）A．cbaB．abcC．cabD．bac【答案】A【解析】令3ln,(0)1xfxxxx，则22214(1)0(1)(1)xfxxxxx=，所以fx在0,上单调递增.又e34，所以e34fff，又3e4elnee1e1f，3ln3f，4ln154f，所以c＞b＞a.故选:A.3．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）设22e,,2eln24ln4abc，则（）A．abcB．cbaC．acbD．cab【答案】D资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为222e24ee2,,2eeln2ln44ln4lneln2abc，所以令()lnxfxx，由2ln1()(l