5.1 三角函数的定义（精讲）（教师版）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司15.1三角函数的定义（精讲）一．任意角1.定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角；按终边位置不同分为象限角和轴线角.3.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．4.象限角与轴线角原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2易错点：终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同二．弧度制1．定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．2．公式角α的弧度数公式|α|＝lr(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝180π°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r2易错点：利用上表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．三．任意角的三角函数三角函数正弦函数余弦函数正切函数定义设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．把r＝|OP|sinα＝yrcosα＝xrtanα＝yx定义域RRxxk,kZ2函数值在一＋＋＋二＋－－原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3各象限的符号三－－＋四－＋－一．判断象限角的方法1.图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．2.转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．二．三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．三．三角函数的定义1，已知角α的终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2.已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角α的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；3.已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意应对a的符号分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．考法一任意角【例1-1】（2023春·青海）下列命题中正确的是（）A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角C．终边相同的角的弧度制表示相差2πD．终边相同的角的弧度都相同【答案】A【解析】如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系，故A正确，B错误，终边相同的角的弧度制表示相差2π的整数倍，故C错误，D错误；故选：A原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司4【例1-2】（2023·山东德州）亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（）A．π3B．π3C．5π3D．5π3【答案】B【解析】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为112ππ63.故选：B.【例1-3】（2023春·辽宁）下列与45终边相同角的集合中正确的是（）A．|2π45,kkZB．π|360,4kkZC．7|2ππ,4kkZD．π|π,4kkZ【答案】C【解析】因为角度值和弧度制不能混用，故A、B错误；因为ππ7π452π444，故C正确；对于选项D：因为πππππ2π,444kkkkZ，则ππ,4kkZ与45终边不相同，故D错误；故选：C.【一隅三反】1．（2023春·上海闵行）下列说法正确是（）A．角60o和角600o是终边相同的角B．第三象限角的集合为3ππ2π2π,Z2kkk∣C．终边在y轴上角的集合为ππ,Z2kk∣D．第二象限角大于第一象限角【答案】C【解析】600360240，与60终边不相，故A错误；第三象限角的集合为3ππ2π2π,Z2kkk∣，故B错误；终边在y轴上角的集合为π3π2π,Z2π,Z22nnnn∣∣，即ππ2π,Z(21)π,Z22nnnn∣∣，即ππ,Z2kk∣，故C正确；120是第二象限角，390第一象限角，120390，故D错误；故选：C.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司52．（2023春·广东清远）（多选）下列说法正确的是（）A．42403B．第一象限的角是锐角C．1弧度的角比1°的角大D．锐角是第一象限的角【答案】ACD【解析】对于A：4240240π03π18，A正确；对于B：第一象限的角不一定是锐角，比如390，B错误；对于C：1°的角为π180弧度，比1弧度的角小，C正确；对于D：根据象限角的定义，可得D正确.故选：ACD.3．（2023·海南）设π0,2，且9的终边与角的终边相同，则sin__________.【答案】22【解析】由题意92πk，Zk，则π4kπ0,2，Zk，所以1k，π4，故sin22.故答案为：22考法二扇形的弧长与面积【例2-1】（2023·安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144°，半径为10cm，则扇形的面积为______cm2．【答案】40．【解析】扇形的圆心角为144°，半径为10cm，所以扇形的面积为221441040cm360S．故答案为：40．【例2-2】（2023·天津河东·一模）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（）A．4B．22C．2D．1【答案】C【解析】设扇形的半径为0RR，圆心角为，则2142R，所以28R，则扇形的周长为8822228RRRRRR，当且仅当82RR，即2R时，取等号，此时2，所以周长最小时半径的值为2.故选：C.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6【例2-3】（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（）（参考数值：3.14）A．20.10mB．19.94mC．19.63mD．19.47m【答案】D【解析】由题意，前轮转动了1103圈，所以A，B两点之间的距离约为11020.36.26.23.1419.47m3，故选：D.【一隅三反】1．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12（弦×矢+矢×矢）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径为2m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（精确到21m）A．22mB．23mC．24mD．21m【答案】A【解析】依题意，弦22sin233π(m)，矢22cos13(m)，则弧田面积=211(2311)3222(2m)，所以弧田面积约是22m.故选：A2．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）一个表面积为A的圆锥，其侧面展开图是一个中心角为135的扇形，设该扇形面积为B，则:AB为（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司7A．8:13B．3:8C．8:3D．11:8【答案】D【解析】设圆锥母线长l，底面圆半径r，3π2π1354rl，所以83lr，圆锥表面积2211Aπrπrlπr3，扇形面积2182ππ23Brlr，所以:11:8AB.故选：D3．（2023·全国·模拟预测）通用技术课上，张老师要求同学们从一个半径为R的圆形纸片上剪出一个扇形，制作成一个圆锥形无盖漏斗，当它的容积最大时，扇形圆心角的大小为（）A．6π3B．πC．26π3D．3π2【答案】C【解析】设扇形的圆心角为02π，圆锥底面半径为r，则扇形的弧长为R，圆锥底面周长2πrR，解得：2πRr，由勾股定理得圆锥的高：22222πRhRrR，容积223222241ππ4π332π2π24πRRRVrhR，方法一：设2x，则204πx，令224πgxxx，则22224π8π3gxxxxxx，当28π0,3x时，0gx，gx单调递增；当228π,4π3x时，0gx，gx单调递减，当28π3x，即26π3时，容积最大；方法二：由三元均值不等式33abcabc（当且仅当abc时取等号）得：32222226224224π256π224π44π422327（当且仅当2224π2，即26π3时取等号），即当扇形圆心角的大小为26π3时，容积最大.故选：C．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司8考法三三角函数的定义【例3-1】（2023·上海·统考模拟预测）已知3,4P为角α终边上一点，则sincos+=______．【答案】15【解析】3,4P为角α终边上一点，9165OP，则4sin5，3cos5，431sincos555.故答案为：15【例3-2】．（2023·四川·校联考模拟预测）已知角的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终边经过点2,5P，则2sin2cos1（）A．752B．4513C．1354D．257【答案】B【解析】由题意知5tan2，则原式2222sincos2tan54552cossin2tan1324.故选：B.【例3-3】（2023·全国·高三对口高考）如果点P在角2π3的终边上，且||2OP，则点P的坐标是（）A．(1,3)B．(1,3)C．(3,1)D．(3,1)【答案】B【解析】由三角函数定义知：2πos31c||2PxOP，2πin33s||2PyOP，所以1Px，3Py，即P的坐标是(1,3).故选：B【例3-4】．（2023春·江西南昌·高一南昌市第十九中学校考阶段练习）在直角坐标系xOy中，若点P从点3,0出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动11π6到达点Q，则点Q的坐标为（）A．333,22B．333,22C．333,22D．333,22【