6.3 利用递推公式求通项（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6.3利用递推公式求通项（精讲）一．公式法求通项1.条件特征：前n项和与项或项数的关系2.解题思路①当n＝1时，由a1＝S1求a1的值．②当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式③检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an．④写出an的完整表达式．二．累加法1.条件特征：𝑎后−𝑎前=𝑓(𝑛)2.解题思路资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】n12132n1n2nn1aa(aa)(aa)+...(aa)(aa)===1根据f(n)中与前后项下标的关系写出每个括号的结果观察f(n)的特征选择合适的求和方法计算化简注意：记得最后a进行移项三．累乘法1.条件特征：a=f(n)na后前含有的式子2.解题思路nnn1n2321n1n2n3211aaaaaa.....aaaaaa=f(n)n=a根据中的与前后项下标的关系列式整理化简注意：将进行移项四．构造法1.形如an＋1＝pan＋q，p≠0，其中a1＝a型(1)若p＝1，数列{an}为等差数列；(2)若q＝0，数列{an}为等比数列；(3)若p≠1且q≠0，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法如下：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ，又an＋1＝pan＋q，所以(p－1)λ＝q，即λ＝qp－1(p≠1)，所以an＋1＋qp－1＝pan＋qp－1，即an＋qp－1构成以a1＋qp－1为首项，以p为公比的等比数列．2.形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型（1）一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得an＋1qn＋1＝pq·anqn＋1q，引入辅助数列{bn}其中bn＝anqn，得bn＋1＝pq·bn＋1q，再用待定系数法解决；（2）也可以在原递推公式两边同除以pn＋1，得an＋1pn＋1＝anpn＋1p·qpn，引入辅助数列{bn}其中bn＝anpn，得bn＋1－bn＝1pqpn，再利用叠加法(逐差相加法)求解．3.形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．4.形如an＋1＝panran＋s型两边同时取倒数转化为1an＋1＝sp·1an＋rp的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出1an的表达式，再求an．考法一公式法求通项【例1-1】（2022·四川·什邡中学）数列na的前n项和2321nSnn，则它的通项公式是_______．【答案】2,165,2nnann【解析】当1n时，211312112aS，当2n时，2213213121165nnnaSSnnnnn经检验当1n时不符合，所以2,165,2nnann，故答案为：2,165,2nnann，【例1-2】（2023春·安徽合肥）已知数列na的前n项和1233nnSa，则na的通项公式na【答案】112nna【解析】令1n，则112313aa，解得11a，当2n时，111233nnSa，则111133nnnnnaSSaa，即112nnaa，2n，所以数列na是以1为首项，12为公比的等比数列，所以1111122nnna．【例1-3】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列na满足121213332nnnnnaaaa，*nN，则数列na的通项公式为___________.【答案】12,1,2,2nnnan【解析】当1n时，12a.当2n时，121213332nnnnnaaaa，①231121332nnnnaaa.②资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①3②，得122nnan.因为12a不满足上式，所以12,1,2,2nnnan故答案为：12,1,2,2nnnan【一隅三反】1．（2023陕西）已知数列na前n项和为nS，且2nSn，则求数列na的通项公式；.【答案】21n，*nN.【解析】当1n时，111aS，当2n且*nN时，221121nnnaSSnnn，而12111a，即1a也满足21n，∴21nan，*nN.故答案为：21n，*nN.2．（2023·全国·高三专题练习）记nS为数列na的前n项和，若24nnaSn，则na______【答案】1122n【解析】由题得，当1n时，11214aS，解得13a；当2n时，24nnaSn①，11214nnaSn②，①②得122nnaa，则11222nnaa，则数列2na是首项为121a，公比为12的等比数列，则1122nna，故1122nna．故答案为：1122n.3．（2023云南）已知正项数列na的前n项和为nS，且满足22nnnSaanN求na的通项公式：【答案】nan【解析】由已知条件可知，对任意的nN，0na.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当1n时，2111122aaSa，解得11a；当2n时，由22nnnSaa可得21112nnnSaa，上述两式作差得22112nnnnnaaaaa，即22110nnnnaaaa，即1110nnnnaaaa，由已知条件可知10nnaa，11nnaa，所以，数列na是等差数列，且首项为1，公差也为1，因此，111nann4．（2023春·安徽）在数列na中11a，当2n时，1211121nnaaaan，则其通项公式为na___．【答案】1,1,22nnn【解析】当2n时，211aa，当3n时，11221122nnaaaan，两式相减得1111nnnaaan，即131nnnaann，因此131nnaannn，即22naan，于是(3)2nnan，当2n时也成立，n＝1时不成立，所以na1,1,22nnn．故答案为：1,1,22nnn考法二累加法求通项【例2-1】（2023春·北京）若数列na满足*111,1Nnnaaann，则通项公式为na__________.【答案】(1)2nn【解析】因为*11Nnnaann，所以当2n时，11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaa(1)321nn(1)2nn，当1n时，11212a，满足11a，所以(1)2nnna，故答案为：(1)2nn.【例2-2】（2023春·安徽马鞍山）在数列{}na中，11a，11(1)nnaann，则na【答案】12nan【解析】由1111(1)1nnaannnn得：1111nnaann，121121nnaann，…，321123aa，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】21112aa，将各式相加得：111naan，则12nan【例2-3】（2023江苏）已知数列na满足132a，112nnnnnaan，求数列na的通项公式；【答案】2nnnan【解析】因为112nnnnnaan，所以1112nnnaann.因为2121212aa，3231322aa，…，1112nnnaann，所以112321111111121122222212nnnnaan，于是2nnnan.当1n时，113122a，所以2nnnan.【一隅三反】1．（2023春·江苏盐城）设等差数列na满足14a，512a，且12b，1nnnbba*nN，则nb【答案】1nbnn【解析】设等差数列na的公差为d，由514aad可得，1244d，解得2d，所以42122nann.则12221nnbbnn，所以当2n时，有112211nnnnnbbbbbbbb2212221nn2212nnnn，当1n时，12b，满足上式，所以1nbnn*nN，2．（2023北京）设数列na满足21112,32nnnaaa，则na=_______.【答案】212n【解析】因为数列{}na满足12a，21132nnnaa，所以当1n时，111211()()()nnnnnaaaaaaaa2123212143222232214nnnn.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以212nna，*2,Nnn，因为12a，也满足上式，所以数列{}na的通项公式为212nna，*Nn故答案为：212n3．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列na满足112nnnana，11a，则数列na的通项公式为______．【答案】32nan【解析】112nnnana，两边同除1nn得：12112111nnaannnnnn，所以111111212231naannn，即1121naann，化简得122naan，∵11a，∴32nan．故答案为：32nan.考法三累乘法求通项【例3-1】（2023海南）已知在数列{}na中，112,1nnnaaan，求数列na的通项公式【答案】2n【解析】11nnnaanQ，即11nnanan，12321123211232121232nnnnnnnaaaaannnaaaaaaannn2n【例3-2】（2023春·广东佛山·）已知12a，1nnnanaa，则数列na的通项公式是na【答案】2n【解析】由1nnnanaa，得11nnnana，即11nnanan，则11nnanan，1212nnanan，2323nnanan，…，2121aa，由累乘法可得1nana，因为12a，所以2nan，【一隅三反】1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列na满足12a，1221nnnaan，则na的通项公式为___________．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】112nnan【解析】因为数列na满足12a，1221nnnaan，则1221nnnaan，所以，当2n时，132112121232421223nnnnnaaaaanaaan