7.5 空间几何的外接球（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7.5空间几何的外接球（精练）1．（2023秋·贵州铜仁）在三棱锥PABC中，PA平面ABC，π2BAC，2ABACAP，则三棱锥外接球的表面积为（）A．4πB．12πC．40π3D．16π【答案】B【解析】如图：∵PA平面ABC，π2BAC，∴AB，AC，AP两两互相垂直，2ABACAP，把三棱锥PABC补成为正方体，则正方体的外接球即三棱锥PABC的外接球，正方体的体对角线长为22223PAABAC，即其外接球直径223R，∴三棱锥外接球的表面积为2234π12π2.故选：B．2．（2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥PABCD的体积是363，底面ABCD是正方形，PAB是等边三角形，平面PAB平面ABCD，则四棱锥PABCD外接球表面积为（）A．89πB．88πC．84πD．81π【答案】C资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设正方形ABCD的边长为2x，在等边三角形PAB中，过P点作PEAB于E，由于平面PAB平面ABCD，∴PE平面ABCD．由于PAB是等边三角形，则3PEx，∴2112336333PABCDABCDVSPExx，解得3x．设四棱锥外接球的半径为R，1O为正方形ABCD中心，2O为等边三角形PAB中心，O为四棱锥P－ABCD外接球球心，则易知21OOEO为矩形，则21132OOEOADx，222332333POPE，222291221ROPOOPO，∴外接球表面积24π(21)84πS．故选：C．3．（2023春·甘肃酒泉）一个到球心距离为1的平面截球所得截面的面积为π，则它的体积为（）A．4πB．8πC．4π3D．82π3【答案】D【解析】作出球的截面示意图，如图AB是平面截球所得小圆的直径，C是小圆圆心，O是球心，设小圆半径为rAC，依题意得2ππr，解得1AC，由,OAOBACBC，得到OCAC，又1OC即为球心到小圆所在平面距离，故222AOACOC，为球的半径，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据球的体积公式，体积为：34π822π33.故选：D4．（2023春·辽宁大连）已知某圆锥的底面半径为2，其体积与半径为1的球的体积相等，则该圆锥的母线长为（）A．2B．2C．5D．5【答案】D【解析】根据题意，圆锥的底面半径为 2r，设圆锥的高为h，圆锥体积与半径为1的球的体积相等，则2214 π2π133h＝，解得 1h，所以母线长为225lhr．故选：D．5．（2023春·陕西榆林）若正三棱锥PABC的高为2，26AB，其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．24πB．20πC．36πD．32π【答案】C【解析】已知正三棱锥PABC的底面边长为26，高为2，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，如图所示：26ABACBC，222266223AE设点E为ABC的中心，O为外接球的球心，(O可能在三棱锥内部，也可能在外部)，222AOOEEA，即222222RR，解得3R．该球的表面积为4π936π．故选：C6．（2023春·广东韶关）已知三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上，,22,ABACBCPB平面ABC，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若球O的体积为36π，则该三棱锥的体积的最大值是（）A．473B．5C．873D．83【答案】A【解析】因为,22ABACBC，易知三角形ABC为等腰直角三角形，又PB平面ABC，所以PB为三棱锥PABC的高，则可将三棱锥PABC放入长方体内，如图，长方体的体对角线即为外接球直径，即PC为球直径，34π36π32PCV，解得6PC，又22268PCPBBCPB，解得27PB，2222BCABACABAC，所以4ABAC所以三棱锥的体积114727323VABAC，故选：A7．（2023春·湖南）2022年卡塔尔足球世界杯吸引了全世界许多球迷的关注，足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，连接这四点构成三棱锥ABCD如图所示，顶点A在底面的射影落在△BCD内，它的体积为37293cm2，其中△BCD和△ABC都是边长为18cm的正三角形，则该“鞠”的表面积为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．2234πcmB．2468πcmC．2189πcmD．2756πcm【答案】B【解析】如图，取BC的中点E，连接,AEDE，作AFDE于点F，因为△BCD和△ABC都是正三角形，所以,AEBCDEBC，又,,AEDEEAEDE平面ADE，所以BC平面ADE，又AF平面ADE，所以BCAF，因为,,,AFDEDEBCEDEBC平面BCD，所以AF平面BCD，则7293213ABCDBCDVSAF，即113729318183222AF，解得272AF，318932AEDE，则2227939322EF，设BCD△外接圆的圆心为1O，三棱锥外接球的球心为点O，则1OO平面BCD，BCD△外接圆的半径2633rDE，1332OF，设外接球的半径为R，1OOx，则ROAOD，2222223327,6322OAxODx，故222233276322xx，解得3x，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以22363117ROD，所以该“鞠”的表面积为224π468πcmR.故选：B.8．（2023春·山西太原）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是32π3，则该正方体的体积为（）A．4B．16C．8D．64【答案】D【解析】根据球的体积公式，3324π=π33r，解得2r.因为正方体的内切球直径等于正方体的棱长，所以正方体的棱长为4，故正方体的体积为3464V.故选：D.9．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，高为2，26AD，2AB，ABPD，PAPD，则四棱锥PABCD的外接球的表面积为（）A．126πB．486πC．36πD．256π3【答案】C【解析】如图，在矩形ABCD中，连接对角线,ACBD，记ACBDF，则点F为矩形ABCD的外接圆圆心，取AD的中点E，连接,PEEF，记PAD的外接圆圆心为G，易知1//,1,2EFABEFABPEAD，且,,PEG共线.因为,,ABPDABADADPDD，,ADPD平面PAD，所以AB平面PAD，所以EF平面PAD，PE平面PAD，EFPE，EFADE，,EFAD平面ABCD，所以PE平面ABCD，所以2PE，所以226222PAPD，易得120APD，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以由正弦定理得PAD的外接圆半径为222sinADAPD，即22GP.过G作GO平面PAD，且1GOEF，连接FO，由GO平面PAD，可知GOEF//，则四边形EFOG为矩形，所以//FOPG，则FO平面ABCD.根据球的性质，可得点O为四棱锥PABCD的外接球的球心，因为22813POPGOG，所以四棱锥PABCD的外接球的表面积为24π336π.故选：C10．（2023·全国·高三专题练习）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为1V，它的内切球的体积为2V，则12:VV（）A．2:3B．22:3C．3:2D．2:1【答案】D【解析】由题意可得21122π11π33V，因为上下两个圆锥大小相同，所以组合体内切球的球心为O，半径等于点O到PA的距离，设半径为r，则22112211OAPOrPA，所以32422ππ323V，所以1222:π:π2:22:133VV，故选：D资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知一个圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥内切球的表面积与圆锥的表面积之比为（）A．35B．38C．13D．313【答案】B【解析】由题意得10,8lh，设圆锥的底面圆半径为r，则221086r，则圆锥的的侧面积为π60πrl，故圆锥的表面积为2ππ60π36π96πrlr，设圆锥的内切球球心为H，过点H作HM⊥AC于点M，设内切球的半径为R，则HMHOR，因为8CHR，所以HMCHAOAC，即8610RR，解得3R，故内切球的表面积为24π36πR，则圆锥内切球的表面积与圆锥的表面积之比为36π396π8.故选：B12．（2023春·广西南宁）在三棱锥PABC中，AC平面PAB，6AB，10AC，22BP，45ABP，则三棱锥PABC外接球的表面积为（）A．76πB．128πC．140πD．148π【答案】C【解析】在PAB中，6AB，22BP，45ABP，则226222622cos4525AP，设PAB外接圆半径为r，则2210sin45APr，即10r，令PAB外接圆圆心为1O，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三棱锥PABC外接球球心为O，半径为R，有1OO平面ABC，由AC平面ABC，得1//OOAC，又OAOC，取AC中点D，于是四边形1ADOO为矩形，则球心O到平面ABC的距离12ACOOAD，因此222()1025352ACRr，所以三棱锥PABC外接球的表面积24π140πSR.故选：C13．（2023春·重庆江津）如图，已知棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，下列命题正确的是（）A．正方体外接球的半径为3B．点P在线段AB上运动，则四面体11PACD的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为22π3D．M是正方体的内切球的球面上任意一点，则AM长的最小值是312【答案】D【解析】选项A：连接1BD，则1BD为正方体外接球的直径，又1=3BD，则正方体外接球的直径为3，故A错误；选项B：11ACD为边长是2的等边三角形，面积为定值，点P在线段AB上运动，11//ABAB，11AB与平面11ACD相交，所以AB与平面11ACD相交，所以四面体11PACD的高是变化的，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以四面体11PACD的体积是变化的，故B错误；选项C：与所有12条棱都相切的球的半径为22，该球体积为342π=322π3，则与所有12条棱都相切的球的体积为2π3，故C错误；选项D：正方体的内切球的半径为12，球心为1BD中点，M是球面上任意一点，则AM长的最小值是312,故D正确.故选:D.14．（2023春·陕西安康·高三校考阶段练习）如图，在三棱锥APBC中，已知π4APC，π3BPC，PAAC，PBBC，平面PAC平面PBC，三棱锥APBC的体积为36，若点P，A，B，C都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．12π【答案】B【解析】取PC的中点O，连接,AOBO，因为PAAC，PBBC，所以11,22OAPCOBPC，所以OAOBOCOP，所以O为三棱锥APBC外接球的球心，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设OAR，则OAOBOCOPR，2PCR，因为π4APC，PAAC，所以PAC△