8.2 二项式定理（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8.2二项式定理（精讲）一．二项式定理1.二项式定理：（a＋b）n＝C𝑛0an＋C𝑛1an－1b1＋…＋C𝑛𝑘an－kbk＋…＋C𝑛𝑛bn（n∈N*）①项数为n＋1②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2.通项公式：Tk＋1＝C𝑛𝑘an－kbk=g（r）·xh（r）它表示第k＋1项①h（r）＝0⇔Tr＋1是常数项；②h（r）是非负整数⇔Tr＋1是整式项；③h（r）是负整数⇔Tr＋1是分式项；④h（r）是整数⇔Tr＋1是有理项.3.二项式系数：二项展开式中各项的系数为C𝑛0，C𝑛1，…，C𝑛𝑛.二.二项式系数的性质资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】knknn012nn02413n1Cn12n12nnCCCC2CCCCC2nnnnnnnnnkk.........对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，C当时，二项式系数是递增当时，二项式系数是递减性质增加性当为偶数时，中间一项的二项式系数最大当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大二项式系数和一．形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤①写出二项展开式的通项公式Tk＋1＝C𝑛𝑘an－，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；kbk②根据题目中的相关条件列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；③把k代入通项公式中，即可求出Tk＋，有时还需要先求n，再求k，才能求出1Tk＋或者其他量．1二．求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤①根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；②根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量．三.求二项式系数最大项1.如果n是偶数，那么中间一项(第𝑛2+1项)的二项式系数最大；2，如果n是奇数，那么中间两项(第𝑛+12项与第𝑛+12+1项)的二项式系数相等且最大.四.求展开式系数最大项求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用{𝐴𝑘≥𝐴𝑘-1,𝐴𝑘≥𝐴𝑘+1,解出k.五．求三项展开式中特定项（系数）的方法方法一：通过变形把三项式化为二项式，再用二项式定理求解方法二：两次利用二项展开式的通项求解方法三：利用排列组合的基本原理去求，把三项式看作几个因式之积，得到特定项有多少种方法从这几个资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因式中取因式中的量六．二项式定理应用1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．考点一二项式定理的展开式【例1（2023广西柳州）化简2341632248xxxx（）】A．4xB．42xC．42xD．412x【答案】B【解析】2341632248xxxx2344041322344444422222CCxCxCxCxx．故选：B【一隅三反】1．（2022·高二课时练习）设A＝37＋27C·35＋47C·33＋67C·3，B＝17C·36＋37C·34＋57C·32＋1，则A－B的值为()A．128B．129C．47D．0【答案】A【解析】A－B＝37－17C·36＋27C·35－37C·34＋47C·33－57C·32＋67C·3－1＝77312128故选A.2．（2023·重庆九龙坡）1231261823nnnnnnCCCCA．2123nB．2413nC．123nD．2313n【答案】B【解析】1212618323nnnnnCCCC1220012222(333)(33331)33nnnnnnnnnnnCCCCCCC22[(13)1](41)33nn选B.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点二二项式指定项的系数【例2-1（2023·全国·高三专题练习）在二项式82xx的展开式中，含x的项的二项式系数为（）】A．28B．56C．70D．112【答案】A【解析】∵二项式82xx的展开式中，通项公式为34218C(2)rrrrTx，令3412r，求得2r，可得含x的项的二项式系数为28C28，故选：A.【例2-2】（2022·甘肃兰州·统考一模）6122xx的展开式的常数项是（）A．40B．-40C．20D．-20【答案】D【解析】二项式6122xx的通项公式为662621661C2C212rrrrrrrrTxxx，令6203rr，所以6122xx的展开式的常数项是336236C2120，故选：D【例2-3（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）6211(2)2xx展开式中2x的系数为（）】A．270B．240C．210D．180【答案】A【解析】6(2)x展开式的通项公式为61612CrrrrrTx，则原展开式中2x的系数为24422466112C12C2702.故选：A【例2-4】（2023·四川绵阳·统考二模）32nx展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（）A．8B．7C．6D．5【答案】C【解析】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故142n，得6n.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C【一隅三反】1．（2023·北京·高三专题练习）在二项式52xx的展开式中，含3x项的二项式系数为（）A．5B．5C．10D．10【答案】A【解析】由题设，5521552C()(2)CrrrrrrrTxxx，∴当1r时，113325(2)C10Txx.∴含3x项的二项式系数15C5.故选：A.．（2023·河南驻马店·统考二模）51(1)2xx的展开式中的常数项是（）2A．－112B．－48C．48D．112【答案】D【解析】512x展开式的通项为551551C(2)(2)CrrrrrrrTxx．令50r，得=5r，则5565(2)C32T；令51r，得4r，则441155(2)80TCxx；故51(1)2xx的展开式中的常数项是180132112．故选：D.3．（2023·全国·高三对口高考）在12nxx的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A．7B．7C．358D．358【答案】D【解析】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以8n，88821881C()()(1)2C2kkkkkkkkxTxx，令820k，得4k，所以展开式中常数项是44458(1)2CT358.故选：D考点三三项式指定项系数【例3（2023·全国·高三专题练习）52212xx的展开式中常数项是（）】A．-252B．-220C．220D．252【答案】A【解析】由2510211(2)()xxxx，可得二项式101()xx的展开式通项为：10102110101C()(1)CrrrrrrrTxxx，令1020r，解得=5r，∴展开式的常数项为5510(1)C252．故选：A．【一隅三反】1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）52xxy的展开式中52xy的系数为（）A．10B．10C．30D．30【答案】C【解析】52xxy可以看做5个盒子，每个盒子中有2x，x，y三个元素，现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，所以展开式中含52xy的项为212222553122CCC30xxyxy，故展开式中52xy的系数为30.故选：C.2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）6(23)xyz的展开式中23xyz的系数为（用数字作答）．【答案】6480【解析】因为66(23)23xyzxyz，设其展开式的通项公式为：66661C(2)3C(,06,2)N3rrrrrrrrTrxyzxyrz，令3r，得3(2)xy的通项公式为3333C2C2,03,Nmmmmmmmxyxymm，令2m，所以6(23)xyz的展开式中，32xyz的系数为332263C3C26480，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：64803．（2023秋·福建三明·高三统考期末）512xx展开式中常数项是.（答案用数字作答）【答案】68【解析】551122xxxx的展开式的通项为555255512C2CC112CCkrrkkkkrkrrkkrkrkkxxxxx，05,,Nrkkr,令20kr,则0,0rk或12r,k==，或24r,k==，所以常数项为01250032114250525412CC12CC12CC321606068，故答案为：684．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知二项式51axy的展开式中含3xy的项的系数为40，则a．【答案】2【解析】51axy表示有5个51axy因式相乘，3xy来源如下：有1个51axy提供ay，有3个51axy提供x，有1个51axy提供常数，此时3xy系数是31354CC140a，即2040a，解得：2a故答案为：2.考点四二项式系数性质【例4（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）612x的展开式中二项式系数最大的项是（）】A．160B．240C．3160xD．4240x【答案】C【解析】因为6n，所以6(12)x的展开式中二项式系数最大为36C，即展开式的第4项，即33346C(2)160Txx.故选：C．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一隅三反】1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）naxx的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数项是252，则下列说法正确的是（）A．10nB．各项的二项式系数之和为1024C．1aD．各项的系数之和为1024【答案】ABC【解析】因为naxx的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以10n，选项A正确；所以10axx的展开式中二项式系数之和为011010101010CCC21024，故选项B正确；根据二项式定理知naxx的通项式为1010211010CCkkkkkkkaTxaxx，令1020k得5k，所以